Номер 7.31, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.31. Найдите значение производной функции в указанных точках:

1) $y = 2x^3 - 3x, x = 1, x = 0.5;$

2) $y = 3x + 2\sqrt{x}, x = 0.09, x = 4;$

3) $y = \frac{3}{x} - x, x = -2, x = \frac{1}{3};$

4) $y = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}, x = -1, x = \frac{1}{4}.$

1) Дана функция $y = 2x^3 - 3x$.
Для начала найдем ее производную $y'$, используя правила дифференцирования (производная степенной функции и правило дифференцирования суммы/разности):
$y' = (2x^3 - 3x)' = (2x^3)' - (3x)' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} = 6x^2 - 3$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = 1$:
$y'(1) = 6(1)^2 - 3 = 6 \cdot 1 - 3 = 3$.
При $x = 0,5$:
$y'(0,5) = 6(0,5)^2 - 3 = 6(0,25) - 3 = 1,5 - 3 = -1,5$.
Ответ: $y'(1)=3$; $y'(0,5)=-1,5$.

2) Дана функция $y = 3x + 2\sqrt{x}$.
Для нахождения производной удобно представить $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = 3x + 2x^{1/2}$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (3x + 2x^{1/2})' = (3x)' + (2x^{1/2})' = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 3 + x^{-1/2} = 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = 0,09$:
$y'(0,09) = 3 + \frac{1}{\sqrt{0,09}} = 3 + \frac{1}{0,3} = 3 + \frac{10}{3} = \frac{9}{3} + \frac{10}{3} = \frac{19}{3}$.
При $x = 4$:
$y'(4) = 3 + \frac{1}{\sqrt{4}} = 3 + \frac{1}{2} = 3,5$.
Ответ: $y'(0,09)=\frac{19}{3}$; $y'(4)=3,5$.

3) Дана функция $y = \frac{3}{x} - x$.
Для нахождения производной представим функцию в виде $y = 3x^{-1} - x$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (3x^{-1} - x)' = (3x^{-1})' - (x)' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} - 1 = -3x^{-2} - 1 = -\frac{3}{x^2} - 1$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = -2$:
$y'(-2) = -\frac{3}{(-2)^2} - 1 = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$.
При $x = \frac{1}{3}$:
$y'(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{(\frac{1}{3})^2} - 1 = -\frac{3}{\frac{1}{9}} - 1 = -3 \cdot 9 - 1 = -27 - 1 = -28$.
Ответ: $y'(-2)=-\frac{7}{4}$; $y'(\frac{1}{3})=-28$.

4) Дана функция $y = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.
Для удобства запишем функцию как $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = (\frac{1}{2}x^2)' - (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x - x^2$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = -1$:
$y'(-1) = (-1) - (-1)^2 = -1 - 1 = -2$.
При $x = \frac{1}{4}$:
$y'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $y'(-1)=-2$; $y'(\frac{1}{4})=\frac{3}{16}$.