Номер 7.28, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.28. 1) $y = 3x^3 - 2x^2 + 1;$

2) $y = 4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1;$

3) $y = 4 + 6x - 3x^4;$

4) $y = (x - 2)^3.$

Для решения задачи найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума для каждой функции. Для этого необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.

1) $y = 3x^3 - 2x^2 + 1$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (3x^3 - 2x^2 + 1)' = 9x^2 - 4x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$9x^2 - 4x = 0$
$x(9x - 4) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/9$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4/9)$ и $(4/9; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = 9(-1)^2 - 4(-1) = 9+4=13 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0; 4/9)$, например $x=1/9$, $y'(1/9) = 9(1/9)^2 - 4(1/9) = 1/9 - 4/9 = -3/9 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (4/9; +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = 9(1)^2 - 4(1) = 5 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(0) = 3(0)^3 - 2(0)^2 + 1 = 1$.
- В точке $x=4/9$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(4/9) = 3\left(\frac{4}{9}\right)^3 - 2\left(\frac{4}{9}\right)^2 + 1 = 3 \cdot \frac{64}{729} - 2 \cdot \frac{16}{81} + 1 = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} + 1 = \frac{64 - 96 + 243}{243} = \frac{211}{243}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4/9; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4/9]$. Точка максимума: $(0; 1)$. Точка минимума: $(4/9; 211/243)$.

2) $y = 4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1)' = 20x^4 - 16x^3 + 2x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$20x^4 - 16x^3 + 2x = 0$
$2x(10x^3 - 8x^2 + 1) = 0$
Одна критическая точка: $x_1 = 0$. Другие критические точки являются корнями уравнения $10x^3 - 8x^2 + 1 = 0$. Анализ кубического многочлена $P(x) = 10x^3 - 8x^2 + 1$ показывает, что у него есть один действительный корень. Обозначим его $\alpha$. Можно показать, что $\alpha$ находится в интервале $(-0.4; -0.3)$, но точное значение не является рациональным числом.

4. Исследуем знак производной $y' = 2x \cdot P(x)$. Критические точки $x=\alpha$ и $x=0$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; \alpha)$, $(\alpha; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; \alpha)$, имеем $x < 0$ и $P(x) < 0$, поэтому $y' = 2x \cdot P(x) > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (\alpha; 0)$, имеем $x < 0$ и $P(x) > 0$ (так как $\alpha$ - единственный корень $P(x)$), поэтому $y' = 2x \cdot P(x) < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, имеем $x > 0$ и $P(x) > 0$, поэтому $y' = 2x \cdot P(x) > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=\alpha$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(0) = 4(0)^5 - 4(0)^4 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; \alpha]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[\alpha; 0]$, где $\alpha$ - единственный действительный корень уравнения $10x^3 - 8x^2 + 1 = 0$ (приблизительно $\alpha \approx -0.31$). Точка максимума: $(\alpha, 4\alpha^5 - 4\alpha^4 + \alpha^2 - 1)$. Точка минимума: $(0; -1)$.

3) $y = 4 + 6x - 3x^4$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (4 + 6x - 3x^4)' = 6 - 12x^3$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6 - 12x^3 = 0$
$12x^3 = 6$
$x^3 = 1/2$
$x = \sqrt[3]{1/2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; \sqrt[3]{1/2})$ и $(\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$.
- При $x < \sqrt[3]{1/2}$, $x^3 < 1/2$, $12x^3 < 6$, поэтому $y' = 6 - 12x^3 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > \sqrt[3]{1/2}$, $x^3 > 1/2$, $12x^3 > 6$, поэтому $y' = 6 - 12x^3 < 0$. Функция убывает.

5. Определяем точку экстремума.
- В точке $x = \sqrt[3]{1/2}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального (и глобального) максимума.
$y_{max} = y(\sqrt[3]{1/2}) = 4 + 6\sqrt[3]{1/2} - 3(\sqrt[3]{1/2})^4 = 4 + 6\sqrt[3]{1/2} - 3(1/2)\sqrt[3]{1/2} = 4 + (6 - 3/2)\sqrt[3]{1/2} = 4 + \frac{9}{2}\sqrt[3]{1/2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/2}]$, убывает на промежутке $[\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$. Точка максимума: $(\sqrt[3]{1/2}; 4 + \frac{9}{2}\sqrt[3]{1/2})$.

4) $y = (x-2)^3$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = ((x-2)^3)' = 3(x-2)^2 \cdot (x-2)' = 3(x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3(x-2)^2 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$.

4. Исследуем знак производной. Производная $y' = 3(x-2)^2$ неотрицательна для всех $x$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Производная равна нулю только в точке $x=2$.
- При $x < 2$, $y' > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 2$, $y' > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через критическую точку $x=2$, эта точка не является точкой экстремума. Это точка перегиба.

Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.