Номер 7.27, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.27.

1) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$;

2) $y = \frac{3x-2}{x+8}$;

3) $y = \frac{3x-2}{x-8}$;

4) $y = \frac{x-1}{x+1}$.

1) Для функции $y = \frac{1+2x}{3-5x}$ необходимо найти производную. Воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, пусть $u(x) = 1+2x$ и $v(x) = 3-5x$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (1+2x)' = 2$

$v'(x) = (3-5x)' = -5$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(3-5x) - (1+2x)(-5)}{(3-5x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{6 - 10x - (-5 - 10x)}{(3-5x)^2} = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3-5x)^2} = \frac{11}{(3-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{11}{(3-5x)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{3x-2}{x+8}$ найдем производную, используя то же правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = 3x-2$ и $v(x) = x+8$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x-2)' = 3$

$v'(x) = (x+8)' = 1$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(x+8) - (3x-2)(1)}{(x+8)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{3x + 24 - 3x + 2}{(x+8)^2} = \frac{26}{(x+8)^2}$

Ответ: $y' = \frac{26}{(x+8)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{3x-2}{x-8}$ найдем производную.

Пусть $u(x) = 3x-2$ и $v(x) = x-8$.

Производные этих функций:

$u'(x) = (3x-2)' = 3$

$v'(x) = (x-8)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(x-8) - (3x-2)(1)}{(x-8)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$y' = \frac{3x - 24 - 3x + 2}{(x-8)^2} = \frac{-22}{(x-8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{22}{(x-8)^2}$.

4) Для функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ найдем производную.

Пусть $u(x) = x-1$ и $v(x) = x+1$.

Их производные:

$u'(x) = (x-1)' = 1$

$v'(x) = (x+1)' = 1$

Подставим значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$

Упростим полученное выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$.