Номер 7.36, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.36. 1) $y = x \operatorname{arctg} x;$

2) $y = \sqrt{x} \arccos x;$

3) $y = \frac{\sqrt{x^3}}{\arcsin x};$

4) $y = - \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}.$

1) Для нахождения производной функции $y = x \operatorname{arctg} x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{arctg} x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (x \operatorname{arctg} x)' = (x)' \cdot \operatorname{arctg} x + x \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{arctg} x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^2}$.

Ответ: $y' = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} \operatorname{arccos} x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v(x) = \operatorname{arccos} x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v'(x) = (\operatorname{arccos} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (\sqrt{x} \operatorname{arccos} x)' = (\sqrt{x})' \operatorname{arccos} x + \sqrt{x} (\operatorname{arccos} x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \operatorname{arccos} x + \sqrt{x} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\operatorname{arccos} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{\operatorname{arccos} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{x^3}}{\operatorname{arcsin} x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x^3} = x^{3/2}$ и $v(x) = \operatorname{arcsin} x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$ и $v'(x) = (\operatorname{arcsin} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^{3/2})' \operatorname{arcsin} x - x^{3/2} (\operatorname{arcsin} x)'}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2} \operatorname{arcsin} x - x^{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2} \operatorname{arcsin} x - \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

Упростим выражение, приведя числитель к общему знаменателю $2\sqrt{1-x^2}$ и вынося общий множитель $\sqrt{x}$:

$y' = \frac{\frac{3\sqrt{x}\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\sqrt{x}(3\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x)}{2\sqrt{1-x^2}(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{\sqrt{x}(3\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x)}{2\sqrt{1-x^2}(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = -\frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ с учетом знака минус перед дробью.

Пусть $u(x) = \operatorname{arcctg} x$ и $v(x) = \sqrt{2x}$.

Находим их производные: $u'(x) = (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$ и $v'(x) = (\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = - \left( \frac{u'v - uv'}{v^2} \right) = - \frac{(-\frac{1}{1+x^2})\sqrt{2x} - (\operatorname{arcctg} x) \frac{1}{\sqrt{2x}}}{(\sqrt{2x})^2}$.

$y' = - \frac{-\frac{\sqrt{2x}}{1+x^2} - \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}}{2x} = \frac{\frac{\sqrt{2x}}{1+x^2} + \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}}{2x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{2x}(1+x^2)$:

$y' = \frac{\frac{(\sqrt{2x})^2 + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}(1+x^2)}}{2x} = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2x \sqrt{2x}(1+x^2)} = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2\sqrt{2}x^{3/2}(1+x^2)}$.

Ответ: $y' = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2\sqrt{2}x^{3/2}(1+x^2)}$.