Страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.54. 1) $y = \arcsin(5x - 3);$

2) $y = \sqrt{x - 1} + \arccos(x - 1);$

3) $y = \arctan\left(\frac{x}{2} + 1\right);$

4) $y = \sqrt{x - 1} \cdot \arctan(2x + 1).$

1) Область определения функции $y = \arcsin(5x - 3)$ находится из условия, что аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Для нахождения области определения решим двойное неравенство:

$-1 \le 5x - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le 5x - 3 + 3 \le 1 + 3$

$2 \le 5x \le 4$

Разделим все части неравенства на 5:

$\frac{2}{5} \le x \le \frac{4}{5}$

Таким образом, область определения функции $D(y)$ есть отрезок $[\frac{2}{5}; \frac{4}{5}]$.

Ответ: $[\frac{2}{5}; \frac{4}{5}]$

2) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} + \arccos(x - 1)$ является пересечением областей определения слагаемых $\sqrt{x - 1}$ и $\arccos(x - 1)$.

1. Для функции $f(x) = \sqrt{x-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. Для функции $g(x) = \arccos(x-1)$ аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$:

$-1 \le x - 1 \le 1$

$-1 + 1 \le x \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Найдем пересечение полученных множеств: $x \ge 1$ и $0 \le x \le 2$. Это соответствует отрезку $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$

3) Область определения функции $y = \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2} + 1\right)$ совпадает с областью определения функции арктангенс.

Функция арктангенс, $\operatorname{arctg}(u)$, определена для любых действительных значений своего аргумента $u$. В данном случае аргумент $u = \frac{x}{2} + 1$ также определен для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения исходной функции - это множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

4) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} \cdot \operatorname{arcctg}(2x + 1)$ является пересечением областей определения множителей $\sqrt{x - 1}$ и $\operatorname{arcctg}(2x + 1)$.

1. Для множителя $f(x) = \sqrt{x-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2. Для множителя $g(x) = \operatorname{arcctg}(2x + 1)$ ограничений нет, так как функция арккотангенс определена для любых действительных значений своего аргумента.

Область определения всей функции совпадает с областью определения первого множителя, то есть $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$

7.55. 1) $y = (x^6 + x)^2$;

2) $y = (1 - x)^{12}$;

3) $y = (2x^3 - 5x^2)^{16}$;

4) $y = (3x^3 - 2x^2)^5$.

1) Дана функция $y = (x^6 + x)^2$.

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Если функция имеет вид $y = u(x)^n$, то её производная равна $y' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

В данном случае, внутренняя функция $u(x) = x^6 + x$, а показатель степени $n = 2$.

Сначала найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^6 + x)' = (x^6)' + (x)' = 6x^5 + 1$.

Теперь подставим всё в формулу производной сложной функции:

$y' = 2 \cdot (x^6 + x)^{2-1} \cdot (6x^5 + 1) = 2(x^6 + x)(6x^5 + 1)$.

Ответ: $y' = 2(x^6 + x)(6x^5 + 1)$.

2) Дана функция $y = (1 - x)^{12}$.

Используем то же правило дифференцирования сложной функции: $y' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

Здесь внутренняя функция $u(x) = 1 - x$, а показатель степени $n = 12$.

Найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (1 - x)' = (1)' - (x)' = 0 - 1 = -1$.

Подставляем полученные значения в формулу:

$y' = 12 \cdot (1 - x)^{12-1} \cdot (-1) = -12(1 - x)^{11}$.

Ответ: $y' = -12(1 - x)^{11}$.

3) Дана функция $y = (2x^3 - 5x^2)^{16}$.

Применяем правило дифференцирования сложной степенной функции: $y' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

Внутренняя функция $u(x) = 2x^3 - 5x^2$, показатель степени $n = 16$.

Найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (2x^3 - 5x^2)' = (2x^3)' - (5x^2)' = 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x = 6x^2 - 10x$.

Подставляем в формулу производной:

$y' = 16 \cdot (2x^3 - 5x^2)^{16-1} \cdot (6x^2 - 10x) = 16(2x^3 - 5x^2)^{15}(6x^2 - 10x)$.

Ответ: $y' = 16(6x^2 - 10x)(2x^3 - 5x^2)^{15}$.

4) Дана функция $y = (3x^3 - 2x^2)^5$.

Снова используем правило: $y' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

Внутренняя функция $u(x) = 3x^3 - 2x^2$, показатель степени $n = 5$.

Найдём производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^3 - 2x^2)' = (3x^3)' - (2x^2)' = 3 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x = 9x^2 - 4x$.

Подставляем в формулу производной:

$y' = 5 \cdot (3x^3 - 2x^2)^{5-1} \cdot (9x^2 - 4x) = 5(3x^3 - 2x^2)^4(9x^2 - 4x)$.

Ответ: $y' = 5(9x^2 - 4x)(3x^3 - 2x^2)^4$.

7.56. 1) $y = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17};$

2) $y = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3};$

3) $y = \sqrt{4x^2 + 5};$

4) $y = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x^2 + 7}.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данную функцию можно представить как $y = f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = u^{17}$ и внутренняя функция $g(x) = u = x^3 - 2x^2 + 3$.

Производная сложной функции находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Сначала найдем производную внешней функции по ее аргументу $u$:
$f'(u) = (u^{17})' = 17u^{16}$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$:
$g'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = 3x^2 - 4x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила, заменив $u$ на $g(x)$:
$y' = 17(x^3 - 2x^2 + 3)^{16} \cdot (3x^2 - 4x)$.

Для удобства записи множитель с меньшей степенью ставят впереди:
$y' = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

Ответ: $y' = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}$ представим ее в виде степенной функции: $y = (1 - x^4 + (x^2+3)^{-1})^{1/2}$.

Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$ и $g(x) = u = 1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}$.

Применяем цепное правило $y' = f'(u) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции:
$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

Производная внутренней функции $g'(x)$ является производной суммы. Для слагаемого $\frac{1}{x^2+3} = (x^2+3)^{-1}$ также применяется цепное правило:
$g'(x) = (1 - x^4 + (x^2+3)^{-1})' = (1)' - (x^4)' + ((x^2+3)^{-1})' = 0 - 4x^3 + (-1)(x^2+3)^{-2} \cdot (x^2+3)' = -4x^3 - \frac{1}{(x^2+3)^2} \cdot 2x = -4x^3 - \frac{2x}{(x^2+3)^2}$.

Теперь перемножим производные внешней и внутренней функций:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}} \cdot \left(-4x^3 - \frac{2x}{(x^2+3)^2}\right)$.

Вынесем общий множитель $-2$ из скобок и сократим дробь:
$y' = \frac{-2\left(2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}\right)}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}} = - \frac{2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}}{\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

Ответ: $y' = - \frac{2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}}{\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

3) Для функции $y = \sqrt{4x^2 + 5}$ также используем цепное правило. Представим функцию в виде $y = (4x^2+5)^{1/2}$.

Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя функция $g(x) = u = 4x^2+5$.

Производная внешней функции:
$f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции:
$g'(x) = (4x^2+5)' = 8x$.

Производная исходной функции равна произведению производных:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2+5}} \cdot 8x = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2+5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}$.

Ответ: $y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}$.

4) Функция $y = (3-x^3)^5 + \sqrt{2x^2+7}$ является суммой двух функций: $y_1 = (3-x^3)^5$ и $y_2 = \sqrt{2x^2+7}$. Производная суммы равна сумме производных: $y' = y_1' + y_2'$.

Найдем производную первого слагаемого $y_1' = ((3-x^3)^5)'$. Используем цепное правило:
$y_1' = 5(3-x^3)^{5-1} \cdot (3-x^3)' = 5(3-x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(3-x^3)^4$.

Найдем производную второго слагаемого $y_2' = (\sqrt{2x^2+7})' = ((2x^2+7)^{1/2})'$. Используем цепное правило:
$y_2' = \frac{1}{2}(2x^2+7)^{1/2-1} \cdot (2x^2+7)' = \frac{1}{2}(2x^2+7)^{-1/2} \cdot 4x = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+7}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.

Складываем полученные производные:
$y' = y_1' + y_2' = -15x^2(3-x^3)^4 + \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.

Ответ: $y' = -15x^2(3-x^3)^4 + \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.

7.57. 1) $y = \sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2);$

2) $y = (x^2+4)\cos\sqrt{x-3};$

3) $y = (3x^2-2x-5)\operatorname{tg}\sqrt{x};$

4) $y = \sqrt{x}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5).$

1) Для функции $y = \sqrt{x-2} \cdot \sin(3x-2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x-2}$ и $v = \sin(3x-2)$.

Найдём производную для $u$, используя правило для степенной и сложной функции: $u' = (\sqrt{x-2})' = ((x-2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x-2)^{-1/2} \cdot (x-2)' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.

Найдём производную для $v$, используя правило для тригонометрической и сложной функции: $v' = (\sin(3x-2))' = \cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = 3\cos(3x-2)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot \sin(3x-2) + \sqrt{x-2} \cdot 3\cos(3x-2)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(3x-2)}{2\sqrt{x-2}} + 3\sqrt{x-2}\cos(3x-2)$.

2) Для функции $y = (x^2+4)\cos\sqrt{x-3}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = x^2+4$ и $v = \cos\sqrt{x-3}$.

Найдём производную для $u$: $u' = (x^2+4)' = 2x$.

Найдём производную для $v$, используя цепное правило: $v' = (\cos\sqrt{x-3})' = -\sin\sqrt{x-3} \cdot (\sqrt{x-3})' = -\sin\sqrt{x-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-3}} = -\frac{\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}$.

Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = 2x \cdot \cos\sqrt{x-3} + (x^2+4) \left(-\frac{\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}\right)$.

Ответ: $y' = 2x\cos\sqrt{x-3} - \frac{(x^2+4)\sin\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}}$.

3) Для функции $y = (3x^2-2x-5)\operatorname{tg}\sqrt{x}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 3x^2-2x-5$ и $v = \operatorname{tg}\sqrt{x}$.

Найдём производную для $u$: $u' = (3x^2-2x-5)' = 6x-2$.

Найдём производную для $v$: $v' = (\operatorname{tg}\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x})} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{x})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

Подставляем в формулу: $y' = u'v + uv' = (6x-2)\operatorname{tg}\sqrt{x} + (3x^2-2x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

Ответ: $y' = (6x-2)\operatorname{tg}\sqrt{x} + \frac{3x^2-2x-5}{2\sqrt{x}\cos^2(\sqrt{x})}$.

4) Для функции $y = \sqrt{x}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x}$ и $v = \operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)$.

Найдём производную для $u$: $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдём производную для $v$: $v' = (\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5))' = -\frac{1}{\sin^2(3x^2-2x-5)} \cdot (3x^2-2x-5)' = -\frac{6x-2}{\sin^2(3x^2-2x-5)}$.

Подставляем в формулу: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5) + \sqrt{x}\left(-\frac{6x-2}{\sin^2(3x^2-2x-5)}\right)$.

Ответ: $y' = \frac{\operatorname{ctg}(3x^2-2x-5)}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}(6x-2)}{\sin^2(3x^2-2x-5)}$.

7.58. 1) $y = \frac{\sin 3x}{\sqrt{x-1}};$

2) $y = \frac{\sqrt{2x-3}}{\cos \frac{x}{2}}.$

1) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sin 3x}{\sqrt{x-1}}$ необходимо учесть два условия, при которых функция существует:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{x-1} \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство, так как если подкоренное выражение будет строго больше нуля, то оба условия выполнятся одновременно.

Получаем неравенство: $x - 1 > 0$.

Решая его, находим: $x > 1$.

Числитель, $\sin 3x$, определён для любых действительных значений $x$, поэтому он не накладывает дополнительных ограничений на область определения.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие 1.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2x-3}}{\cos\frac{x}{2}}$ необходимо рассмотреть следующие условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня в числителе должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел.

Запишем это условие в виде неравенства: $2x - 3 \ge 0$.

Решаем неравенство: $2x \ge 3$, откуда $x \ge \frac{3}{2}$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Запишем это условие: $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

Функция косинус равна нулю, когда её аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, мы должны исключить значения $x$, для которых $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Выразим $x$, умножив обе части на 2: $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь объединим оба условия: $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \neq \pi + 2\pi k$.

Нам нужно из промежутка $[\frac{3}{2}; +\infty)$ исключить все точки вида $\pi + 2\pi k$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, а $\frac{3}{2} = 1.5$, то все значения $\pi + 2\pi k$ при $k \ge 0$ (то есть для $k=0, 1, 2, \dots$) будут больше или равны $\frac{3}{2}$ и должны быть исключены. Например, при $k=0$, $x=\pi$; при $k=1$, $x=3\pi$, и т.д. При отрицательных $k$ (например, $k=-1$) значение $x = -\pi$ не входит в промежуток $x \ge \frac{3}{2}$.

Таким образом, область определения — это все числа из промежутка $[\frac{3}{2}; +\infty)$, кроме чисел вида $\pi + 2\pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}; +\infty) \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}$.

7.59. 1) $y = (2x + 1)\arcsin \sqrt{x}$;

2) $y = \sqrt{x} \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1)$;

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{x-4}$;

4) $y = \operatorname{arcctg}(5x^2 - 3)$.

1) Дана функция $y = (2x + 1)\arcsin\sqrt{x}$.
Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = 2x+1$ и $v = \arcsin\sqrt{x}$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = (2x+1)' = 2$.
Для нахождения производной $v = \arcsin\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арксинуса $(\arcsin z)' = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$ и производная корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$v' = (\arcsin\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} = \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = (2x+1)' \cdot \arcsin\sqrt{x} + (2x+1) \cdot (\arcsin\sqrt{x})'$.
$y' = 2\arcsin\sqrt{x} + (2x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
$y' = 2\arcsin\sqrt{x} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x-x^2}}$.
Ответ: $y' = 2\arcsin\sqrt{x} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x-x^2}}$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x} \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1)$.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sqrt{x}$ и $v = \arccos(x^2 + 2x - 1)$.
Найдем производные для $u$ и $v$:
$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Для нахождения производной $v = \arccos(x^2 + 2x - 1)$ используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арккосинуса $(\arccos z)' = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$.
$v' = (\arccos(x^2 + 2x - 1))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2+2x-1)^2}} \cdot (x^2+2x-1)'$.
$(x^2+2x-1)' = 2x+2$.
$v' = -\frac{2x+2}{\sqrt{1 - (x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x + 1)}} = -\frac{2(x+1)}{\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x}}$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = (\sqrt{x})' \cdot \arccos(x^2 + 2x - 1) + \sqrt{x} \cdot (\arccos(x^2 + 2x - 1))'$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \arccos(x^2 + 2x - 1) + \sqrt{x} \left( -\frac{2(x+1)}{\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x}} \right)$.
Упростим второе слагаемое, заметив, что в области определения функции $x \ge 0$. Тогда $\sqrt{-x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x} = \sqrt{x(-x^3 - 4x^2 - 2x + 4)} = \sqrt{x}\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}$.
$y' = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} \cdot 2(x+1)}{\sqrt{x}\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}} = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{2(x+1)}{\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{\arccos(x^2 + 2x - 1)}{2\sqrt{x}} - \frac{2(x+1)}{\sqrt{4-2x-4x^2-x^3}}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x-4}$.
Это сложная функция, для нахождения ее производной используем цепное правило.
Пусть $u = \sqrt{x-4}$. Тогда $y = \operatorname{arctg}(u)$.
Производная арктангенса $(\operatorname{arctg} z)' = \frac{1}{1+z^2}$.
Производная $u' = (\sqrt{x-4})' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}} \cdot (x-4)' = \frac{1}{2\sqrt{x-4}}$.
По правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = (\operatorname{arctg}(\sqrt{x-4}))' = \frac{1}{1+(\sqrt{x-4})^2} \cdot (\sqrt{x-4})'$.
$y' = \frac{1}{1 + (x-4)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-4}}$.
$y' = \frac{1}{x-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-4}} = \frac{1}{2(x-3)\sqrt{x-4}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2(x-3)\sqrt{x-4}}$.

4) Дана функция $y = \operatorname{arcctg}(5x^2 - 3)$.
Это сложная функция, для нахождения ее производной используем цепное правило.
Пусть $u = 5x^2-3$. Тогда $y = \operatorname{arcctg}(u)$.
Производная арккотангенса $(\operatorname{arcctg} z)' = -\frac{1}{1+z^2}$.
Производная $u' = (5x^2 - 3)' = 10x$.
По правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = (\operatorname{arcctg}(5x^2 - 3))' = -\frac{1}{1+(5x^2-3)^2} \cdot (5x^2-3)'$.
$y' = -\frac{1}{1 + (25x^4 - 30x^2 + 9)} \cdot 10x$.
$y' = -\frac{10x}{25x^4 - 30x^2 + 10}$.
Сократим дробь на 5:
$y' = -\frac{2x}{5x^4 - 6x^2 + 2}$.
Ответ: $y' = -\frac{2x}{5x^4 - 6x^2 + 2}$.

7.60. Найдите производную функции в указанной точке:

1) $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}, x = 4, x = 16;$

2) $g(x) = x^2 \sin \frac{x}{2}, x = \frac{\pi}{3}, x = \pi.$

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = x^2 - 2x^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования разности функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^2 - 2x^{1/2})' = (x^2)' - (2x^{1/2})' = 2x^{2-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 2x - x^{-1/2} = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь найдем значения производной в указанных точках.

При $x = 4$:

$f'(4) = 2 \cdot 4 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 8 - \frac{1}{2} = 7,5$.

При $x = 16$:

$f'(16) = 2 \cdot 16 - \frac{1}{\sqrt{16}} = 32 - \frac{1}{4} = 31,75$.

Ответ: $f'(4) = 7,5$; $f'(16) = 31,75$.

2) Дана функция $g(x) = x^2 \sin\frac{x}{2}$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin\frac{x}{2}$.

Тогда $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Производная $v'(x)$ находится как производная сложной функции: $v'(x) = (\sin\frac{x}{2})' = \cos\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Теперь найдем производную $g'(x)$:

$g'(x) = u'v + uv' = 2x \sin\frac{x}{2} + x^2 \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = 2x \sin\frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Теперь найдем значения производной в указанных точках.

При $x = \frac{\pi}{3}$:

$g'(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi/3}{2}) + \frac{(\pi/3)^2}{2}\cos(\frac{\pi/3}{2}) = \frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi^2/9}{2}\cos\frac{\pi}{6}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$g'(\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{18} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi^2}{36}$.

При $x = \pi$:

$g'(\pi) = 2\pi \sin\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{2}\cos\frac{\pi}{2}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, получаем:

$g'(\pi) = 2\pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{2} \cdot 0 = 2\pi$.

Ответ: $g'(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi^2}{36}$; $g'(\pi) = 2\pi$.

7.61. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = x - \sin 2x;$

2) $f(x) = x + \operatorname{ctg} 3x;$

3) $f(x) = \cos 2x + x;$

4) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3x}.$

1) Для функции $f(x) = x - \sin 2x$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования разности и производную сложной функции:
$f'(x) = (x - \sin 2x)' = (x)' - (\sin 2x)' = 1 - \cos(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.
Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\cos 2x = 0$
$2\cos 2x = 1$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
Разделив обе части на 2, найдем $x$:
$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $f(x) = x + \text{ctg } 3x$ найдем ее производную. Область определения функции задается условием $\sin 3x \neq 0$, то есть $3x \neq \pi k$, $x \neq \frac{\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$.
$f'(x) = (x + \text{ctg } 3x)' = (x)' + (\text{ctg } 3x)' = 1 + \left(-\frac{1}{\sin^2(3x)}\right) \cdot (3x)' = 1 - \frac{3}{\sin^2(3x)}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - \frac{3}{\sin^2(3x)} = 0$
$\frac{3}{\sin^2(3x)} = 1$
$\sin^2(3x) = 3$
$\sin(3x) = \pm\sqrt{3}$
Поскольку значение функции синус лежит в диапазоне $[-1, 1]$, а $|\pm\sqrt{3}| \approx 1.732 > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

3) Для функции $f(x) = \cos 2x + x$ найдем ее производную:
$f'(x) = (\cos 2x + x)' = (\cos 2x)' + (x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' + 1 = 1 - 2\sin 2x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$1 - 2\sin 2x = 0$
$2\sin 2x = 1$
$\sin 2x = \frac{1}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Разделив обе части на 2, получим $x$:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$ найдем ее производную:
$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = (\sin 2x)' - (\sqrt{3}x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - \sqrt{3} = 2\cos 2x - \sqrt{3}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$2\cos 2x - \sqrt{3} = 0$
$2\cos 2x = \sqrt{3}$
$\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид: $2x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Разделив обе части на 2, получим $x$:
$x = \pm\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7.62. Даны функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $u(x) = \sin x$. Задайте формулой сложную функцию $F(x)$ и найдите $F'(x)$:

1) $F(x) = f(g(x));$

2) $F(x) = g(u(x));$

3) $F(x) = g(f(x));$

4) $F(x) = u(g(x));$

5) $F(x) = f(g(u(x)));$

6) $F(x) = u(g(f(x))).$

Даны функции $f(x) = 3 - 2x$, $g(x) = x^2$ и $u(x) = \sin x$.
Для нахождения производных сложных функций нам понадобятся производные этих функций:
$f'(x) = (3 - 2x)' = -2$
$g'(x) = (x^2)' = 2x$
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Основное правило, которое мы будем использовать, — это правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(h(k(x)))' = h'(k(x)) \cdot k'(x)$.

1) F(x) = f(g(x))
Сначала зададим формулой сложную функцию $F(x)$. Для этого подставим функцию $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$F(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 3 - 2(x^2) = 3 - 2x^2$.
Теперь найдем производную $F'(x)$. Используем правило производной сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$f'(x) = -2$, значит $f'(g(x)) = f'(x^2) = -2$.
$g'(x) = 2x$.
$F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -2 \cdot 2x = -4x$.
Ответ: $F(x) = 3 - 2x^2$, $F'(x) = -4x$.

2) F(x) = g(u(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(u(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(g(u(x)))' = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(u(x)) = g'(\sin x) = 2\sin x$.
$u'(x) = \cos x$.
$F'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = (2\sin x) \cdot \cos x = 2\sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, получаем: $F'(x) = \sin(2x)$.
Ответ: $F(x) = \sin^2 x$, $F'(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.

3) F(x) = g(f(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $f(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(f(x)) = g(3 - 2x) = (3 - 2x)^2$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(f(x)) = g'(3 - 2x) = 2(3 - 2x) = 6 - 4x$.
$f'(x) = -2$.
$F'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = (6 - 4x) \cdot (-2) = -12 + 8x = 8x - 12$.
Ответ: $F(x) = (3 - 2x)^2$, $F'(x) = 8x - 12$.

4) F(x) = u(g(x))
Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $g(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(g(x)) = u(x^2) = \sin(x^2)$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(u(g(x)))' = u'(g(x)) \cdot g'(x)$.
$u'(x) = \cos x$, значит $u'(g(x)) = u'(x^2) = \cos(x^2)$.
$g'(x) = 2x$.
$F'(x) = u'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$.
Ответ: $F(x) = \sin(x^2)$, $F'(x) = 2x\cos(x^2)$.

5) F(x) = f(g(u(x)))
Зададим сложную функцию $F(x)$, которая является композицией трех функций. Сначала найдем $g(u(x))$:
$g(u(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Теперь подставим результат в функцию $f(x)$:
$F(x) = f(\sin^2 x) = 3 - 2\sin^2 x$.
Найдем производную $F'(x)$. Правило дифференцирования для композиции трех функций: $(f(g(u(x))))' = f'(g(u(x))) \cdot g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
$f'(x) = -2$, значит $f'(g(u(x))) = -2$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(u(x)) = 2u(x) = 2\sin x$.
$u'(x) = \cos x$.
$F'(x) = (-2) \cdot (2\sin x) \cdot (\cos x) = -4\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $F'(x) = -2\sin(2x)$.
Ответ: $F(x) = 3 - 2\sin^2 x$, $F'(x) = -4\sin x \cos x = -2\sin(2x)$.

6) F(x) = u(g(f(x)))
Зададим сложную функцию $F(x)$. Сначала найдем $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(3 - 2x) = (3 - 2x)^2$.
Теперь подставим результат в функцию $u(x)$:
$F(x) = u((3 - 2x)^2) = \sin((3 - 2x)^2)$.
Найдем производную $F'(x)$ по цепному правилу: $(u(g(f(x))))' = u'(g(f(x))) \cdot g'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$u'(x) = \cos x$, значит $u'(g(f(x))) = \cos((3-2x)^2)$.
$g'(x) = 2x$, значит $g'(f(x)) = 2f(x) = 2(3-2x)$.
$f'(x) = -2$.
$F'(x) = \cos((3-2x)^2) \cdot (2(3-2x)) \cdot (-2) = -4(3-2x)\cos((3-2x)^2)$.
Раскрыв скобки, получим: $F'(x) = (8x-12)\cos((3-2x)^2)$.
Ответ: $F(x) = \sin((3 - 2x)^2)$, $F'(x) = -4(3-2x)\cos((3 - 2x)^2) = (8x-12)\cos((3-2x)^2)$.