Номер 7.56, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.56. 1) $y = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17};$

2) $y = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3};$

3) $y = \sqrt{4x^2 + 5};$

4) $y = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x^2 + 7}.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данную функцию можно представить как $y = f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = u^{17}$ и внутренняя функция $g(x) = u = x^3 - 2x^2 + 3$.

Производная сложной функции находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Сначала найдем производную внешней функции по ее аргументу $u$:
$f'(u) = (u^{17})' = 17u^{16}$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$:
$g'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = 3x^2 - 4x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила, заменив $u$ на $g(x)$:
$y' = 17(x^3 - 2x^2 + 3)^{16} \cdot (3x^2 - 4x)$.

Для удобства записи множитель с меньшей степенью ставят впереди:
$y' = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

Ответ: $y' = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}$ представим ее в виде степенной функции: $y = (1 - x^4 + (x^2+3)^{-1})^{1/2}$.

Это сложная функция вида $y=f(g(x))$, где $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$ и $g(x) = u = 1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}$.

Применяем цепное правило $y' = f'(u) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции:
$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

Производная внутренней функции $g'(x)$ является производной суммы. Для слагаемого $\frac{1}{x^2+3} = (x^2+3)^{-1}$ также применяется цепное правило:
$g'(x) = (1 - x^4 + (x^2+3)^{-1})' = (1)' - (x^4)' + ((x^2+3)^{-1})' = 0 - 4x^3 + (-1)(x^2+3)^{-2} \cdot (x^2+3)' = -4x^3 - \frac{1}{(x^2+3)^2} \cdot 2x = -4x^3 - \frac{2x}{(x^2+3)^2}$.

Теперь перемножим производные внешней и внутренней функций:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}} \cdot \left(-4x^3 - \frac{2x}{(x^2+3)^2}\right)$.

Вынесем общий множитель $-2$ из скобок и сократим дробь:
$y' = \frac{-2\left(2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}\right)}{2\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}} = - \frac{2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}}{\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

Ответ: $y' = - \frac{2x^3 + \frac{x}{(x^2+3)^2}}{\sqrt{1 - x^4 + \frac{1}{x^2+3}}}$.

3) Для функции $y = \sqrt{4x^2 + 5}$ также используем цепное правило. Представим функцию в виде $y = (4x^2+5)^{1/2}$.

Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя функция $g(x) = u = 4x^2+5$.

Производная внешней функции:
$f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции:
$g'(x) = (4x^2+5)' = 8x$.

Производная исходной функции равна произведению производных:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2+5}} \cdot 8x = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2+5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}$.

Ответ: $y' = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}$.

4) Функция $y = (3-x^3)^5 + \sqrt{2x^2+7}$ является суммой двух функций: $y_1 = (3-x^3)^5$ и $y_2 = \sqrt{2x^2+7}$. Производная суммы равна сумме производных: $y' = y_1' + y_2'$.

Найдем производную первого слагаемого $y_1' = ((3-x^3)^5)'$. Используем цепное правило:
$y_1' = 5(3-x^3)^{5-1} \cdot (3-x^3)' = 5(3-x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(3-x^3)^4$.

Найдем производную второго слагаемого $y_2' = (\sqrt{2x^2+7})' = ((2x^2+7)^{1/2})'$. Используем цепное правило:
$y_2' = \frac{1}{2}(2x^2+7)^{1/2-1} \cdot (2x^2+7)' = \frac{1}{2}(2x^2+7)^{-1/2} \cdot 4x = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+7}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.

Складываем полученные производные:
$y' = y_1' + y_2' = -15x^2(3-x^3)^4 + \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.

Ответ: $y' = -15x^2(3-x^3)^4 + \frac{2x}{\sqrt{2x^2+7}}$.