Номер 7.63, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.63. Даны функции $f(x) = \text{ctg} x$, $g(x) = \sqrt{x}$ и $u(x) = \text{arctg} x$. Задайте формулой сложную функцию $F(x)$ и найдите $F'(x)$:

1) $F(x) = f(u(x))$;

2) $F(x) = g(u(x))$;

3) $F(x) = u(f(x))$;

4) $F(x) = u(g(x))$.

1) F(x) = f(u(x));

Сначала зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $f(x)$:
$F(x) = f(u(x)) = \text{ctg}(u(x)) = \text{ctg}(\text{arctg}\,x)$.

Используя тригонометрическое тождество $\text{ctg}(\text{arctg}\,x) = 1/x$, мы можем упростить выражение для $F(x)$:
$F(x) = 1/x$.

Теперь найдем производную $F'(x)$ от упрощенной функции:
$F'(x) = (1/x)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{x}$, $F'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

2) F(x) = g(u(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(u(x)) = \sqrt{u(x)} = \sqrt{\text{arctg}\,x}$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(h(v(x)))' = h'(v(x)) \cdot v'(x)$.
В нашем случае внешняя функция $h(v) = \sqrt{v}$ и внутренняя функция $v(x) = \text{arctg}\,x$.
Их производные равны: $h'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$ и $v'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

$F'(x) = (\sqrt{\text{arctg}\,x})' = \frac{1}{2\sqrt{\text{arctg}\,x}} \cdot (\text{arctg}\,x)' = \frac{1}{2\sqrt{\text{arctg}\,x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$.

$F'(x) = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\text{arctg}\,x}}$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{\text{arctg}\,x}$, $F'(x) = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\text{arctg}\,x}}$.

3) F(x) = u(f(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $f(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(f(x)) = \text{arctg}(f(x)) = \text{arctg}(\text{ctg}\,x)$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем цепное правило.
Внешняя функция $u(f) = \text{arctg}\,f$, внутренняя функция $f(x) = \text{ctg}\,x$.
Их производные: $u'(f) = \frac{1}{1+f^2}$ и $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2x}$.

$F'(x) = (\text{arctg}(\text{ctg}\,x))' = \frac{1}{1+(\text{ctg}\,x)^2} \cdot (\text{ctg}\,x)' = \frac{1}{1+\text{ctg}^2x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$, упростим выражение:
$F'(x) = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right) = \sin^2x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right) = -1$.

Ответ: $F(x) = \text{arctg}(\text{ctg}\,x)$, $F'(x) = -1$.

4) F(x) = u(g(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $g(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(g(x)) = \text{arctg}(g(x)) = \text{arctg}(\sqrt{x})$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем цепное правило.
Внешняя функция $u(g) = \text{arctg}\,g$, внутренняя функция $g(x) = \sqrt{x}$.
Их производные: $u'(g) = \frac{1}{1+g^2}$ и $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$F'(x) = (\text{arctg}(\sqrt{x}))' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $F(x) = \text{arctg}(\sqrt{x})$, $F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.