Номер 7.64, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.64. 1) $y = \sqrt{4 + \sin^2 x};$

2) $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x};$

3) $y = 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x};$

4) $y = 2 - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}.$

1) Найдем область значений функции $y = \sqrt{4 + \sin^2 x}$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем область значений для $\sin^2 x$: $0 \le \sin^2 x \le 1$.

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 0 \le 4 + \sin^2 x \le 4 + 1$

$4 \le 4 + \sin^2 x \le 5$

Теперь извлечем квадратный корень из всех частей неравенства. Так как все части положительны, знак неравенства сохраняется:

$\sqrt{4} \le \sqrt{4 + \sin^2 x} \le \sqrt{5}$

$2 \le y \le \sqrt{5}$

Таким образом, область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[2; \sqrt{5}]$.

Ответ: $E(y) = [2; \sqrt{5}]$

2) Найдем область значений функции $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Тангенс не определен, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим поведение функции. Найдем ее наименьшее значение. Выражение $\operatorname{tg}^2 x$ принимает наименьшее значение 0 при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin^2 x = \sin^2(\pi k) = 0$.

Подставим эти значения в функцию:

$y_{min} = \sin^2(\pi k) + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2(\pi k)} = 0^2 + \sqrt{1 + 2 \cdot 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 1.

Теперь рассмотрим, как ведет себя функция, когда $x$ приближается к значениям, где тангенс не определен, например, к $\frac{\pi}{2}$.

При $x \to \frac{\pi}{2}$, имеем:

$\sin^2 x \to 1$

$\operatorname{tg}^2 x \to +\infty$

Тогда $\sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x} \to +\infty$.

Следовательно, $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x} \to 1 + (+\infty) = +\infty$.

Функция непрерывна на своей области определения, принимает минимальное значение 1 и может принимать сколь угодно большие значения. Значит, область значений функции — это луч $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$

3) Найдем область значений функции $y = 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x}$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем область значений для $\cos^2 x$: $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 + 0 \le 1 + \cos^2 x \le 1 + 1$

$1 \le 1 + \cos^2 x \le 2$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{1} \le \sqrt{1 + \cos^2 x} \le \sqrt{2}$

$1 \le \sqrt{1 + \cos^2 x} \le \sqrt{2}$

Наконец, прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 1 \le 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x} \le 4 + \sqrt{2}$

$5 \le y \le 4 + \sqrt{2}$

Таким образом, область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[5; 4 + \sqrt{2}]$.

Ответ: $E(y) = [5; 4 + \sqrt{2}]$

4) Найдем область значений функции $y = 2 - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$.

Сначала определим ОДЗ. Во-первых, котангенс не определен при $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Во-вторых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\operatorname{ctg}^2 x - 1 \ge 0$

$\operatorname{ctg}^2 x \ge 1$

Это неравенство выполняется, когда $|\operatorname{ctg} x| \ge 1$.

Теперь найдем область значений. Пусть $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$.

Так как $\operatorname{ctg}^2 x \ge 1$, то $\operatorname{ctg}^2 x - 1 \ge 0$. Следовательно, $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1} \ge \sqrt{1-1} = 0$. То есть $z \ge 0$.

Наша функция принимает вид $y = 2 - z$, где $z \ge 0$.

Когда $z$ принимает свое наименьшее значение, $z = 0$ (это происходит, когда $\operatorname{ctg}^2 x = 1$), функция $y$ принимает свое наибольшее значение:

$y_{max} = 2 - 0 = 2$.

Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x$ может принимать сколь угодно большие значения (например, при $x \to \pi k$), то $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$ также может принимать сколь угодно большие значения. Когда $z \to +\infty$, $y = 2 - z \to -\infty$.

Таким образом, функция принимает значения от $-\infty$ до 2 включительно. Область значений — это луч $(-\infty; 2]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$