Номер 7.68, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.68. Найдите коэффициент при $x$ в составе многочлена:

1) $(2 + x^2)^7$;

2) $(1 - 2x + x^2)^8$;

3) $(2 + x - x^2)^{10}$;

4) $(x^3 + x^2 + x + 1)^5$.

1) Для нахождения коэффициента при $x$ в многочлене $(2 + x^2)^7$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. В нашем случае $a=2$, $b=x^2$ и $n=7$. Общий член разложения имеет вид: $T_{k+1} = C_7^k (2)^{7-k} (x^2)^k = C_7^k 2^{7-k} x^{2k}$. Мы ищем член с $x^1$. Для этого степень $x$ должна быть равна 1, то есть $2k=1$. Отсюда $k=1/2$. Так как $k$ должно быть целым числом ($0 \le k \le 7$), то такого члена в разложении нет. Это также можно понять из того, что при возведении в степень выражения $(2+x^2)$ все степени $x$ будут четными. Коэффициент при $x$ равен 0.
Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $(1 - 2x + x^2)^8$. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $1 - 2x + x^2 = (1 - x)^2$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $((1 - x)^2)^8 = (1 - x)^{16}$. Теперь найдем коэффициент при $x$ в разложении $(1 - x)^{16}$ по формуле бинома Ньютона. Общий член разложения $(a+b)^n$ равен $C_n^k a^{n-k}b^k$. В нашем случае $a=1$, $b=-x$ и $n=16$. Член разложения с $x^1$ соответствует $k=1$. Он равен $C_{16}^1 (1)^{15} (-x)^1 = \frac{16!}{1!(16-1)!} \cdot (-x) = 16 \cdot (-x) = -16x$. Следовательно, искомый коэффициент равен -16.
Ответ: -16

3) Для многочлена $(2 + x - x^2)^{10}$ воспользуемся формулой полиномиального разложения $(a+b+c)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3=n} \frac{n!}{k_1! k_2! k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}$. Здесь $a=2$, $b=x$, $c=-x^2$ и $n=10$. Общий член разложения имеет вид $\frac{10!}{k_1! k_2! k_3!} (2)^{k_1} (x)^{k_2} (-x^2)^{k_3} = \frac{10!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} (-1)^{k_3} x^{k_2+2k_3}$, где $k_1, k_2, k_3$ — неотрицательные целые числа, и $k_1+k_2+k_3=10$. Мы ищем коэффициент при $x^1$, поэтому нам нужно, чтобы выполнялось условие $k_2+2k_3=1$. Учитывая, что $k_2$ и $k_3$ — неотрицательные целые числа, единственное возможное решение этого уравнения — это $k_2=1$ и $k_3=0$. Подставив эти значения в условие $k_1+k_2+k_3=10$, получаем $k_1+1+0=10$, откуда $k_1=9$. Таким образом, существует только один набор $(k_1, k_2, k_3)=(9, 1, 0)$, который дает член с $x^1$. Коэффициент этого члена равен $\frac{10!}{9! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot 2^9 \cdot (-1)^0 = 10 \cdot 512 \cdot 1 = 5120$.
Ответ: 5120

4) Рассмотрим многочлен $(x^3 + x^2 + x + 1)^5$. Выражение в скобках можно разложить на множители: $x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$. Таким образом, исходное выражение равно $((x+1)(x^2+1))^5 = (x+1)^5 (x^2+1)^5$. Нам нужно найти коэффициент при $x^1$ в произведении двух многочленов. Разложим каждый из них по биному Ньютона.
Разложение $(x+1)^5$: $C_5^0x^0 + C_5^1x^1 + C_5^2x^2 + \dots = 1 + 5x + 10x^2 + \dots$
Разложение $(x^2+1)^5$: $C_5^0(x^2)^0 + C_5^1(x^2)^1 + \dots = 1 + 5x^2 + 10x^4 + \dots$
Член с $x^1$ в произведении $(1 + 5x + \dots)(1 + 5x^2 + \dots)$ получается путем перемножения члена с $x^1$ из первого многочлена на свободный член второго и свободного члена первого на член с $x^1$ второго.
Коэффициент при $x^1$ в $(x+1)^5$ равен $C_5^1=5$. Свободный член в $(x^2+1)^5$ равен $C_5^0=1$. Их произведение дает вклад $5 \cdot 1 = 5$.
Свободный член в $(x+1)^5$ равен $C_5^0=1$. В разложении $(x^2+1)^5$ присутствуют только четные степени $x$, поэтому коэффициент при $x^1$ равен 0. Их произведение дает вклад $1 \cdot 0 = 0$.
Суммарный коэффициент при $x^1$ равен $5 + 0 = 5$.
Ответ: 5