Номер 7.72, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.72. Задайте функцию $f(x)$, если:

1) $f'(x) = 2x - 1$;

2) $f'(x) = \sin 5x$;

3) $f'(x) = x^2 - 2x + 1$;

4) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 \cos \frac{x}{2}$.

1) Чтобы задать функцию $f(x)$, зная её производную $f'(x) = 2x - 1$, необходимо найти первообразную (неопределённый интеграл) от данной производной.
$f(x) = \int f'(x) dx = \int (2x - 1) dx$
Используя правила интегрирования, находим:
$f(x) = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = x^2 - x + C$.

2) Найдём функцию $f(x)$, интегрируя её производную $f'(x) = \sin 5x$.
$f(x) = \int \sin 5x dx$
Для вычисления этого интеграла используется стандартная формула $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
В данном случае $k=5$, поэтому:
$f(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$.

3) Для производной $f'(x) = x^2 - 2x + 1$ функция $f(x)$ находится путём интегрирования.
$f(x) = \int (x^2 - 2x + 1) dx$
Интегрируем выражение почленно, используя формулу для степенной функции:
$f(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Альтернативно, можно заметить, что $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Тогда $f(x) = \int (x-1)^2 dx = \frac{(x-1)^3}{3} + C$, что является эквивалентной формой ответа.
Ответ: $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$.

4) Для производной $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 2\cos\frac{x}{2}$ функция $f(x)$ находится как сумма интегралов.
$f(x) = \int \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + 2\cos\frac{x}{2}\right) dx = \int x^{-1/2} dx + 2\int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx$
Вычисляем каждый интеграл:
Первый интеграл: $\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.
Второй интеграл: $2\int \cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = 2 \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} = 4\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Складывая результаты и добавляя общую константу интегрирования $C$, получаем:
$f(x) = 2\sqrt{x} + 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} + 4\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C$.