Номер 7.66, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.66. 1) $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{\arcsin x}$;

2) $y = \frac{1 + x^2}{\text{arctg}x}$;

3) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\arccos \frac{x}{2}}$;

4) $y = \frac{9 + x^2}{\text{arcctg} \frac{x}{3}}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\arcsin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $v(x) = \arcsin x$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = ((1-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

$v'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:

$y' = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) \cdot \arcsin x - \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2}$.

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{-\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} - 1}{(\arcsin x)^2} = \frac{\frac{-x \arcsin x - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2} = \frac{-x \arcsin x - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2} = -\frac{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{1+x^2}{\text{arctg}\,x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1+x^2$ и $v(x) = \text{arctg}\,x$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (1+x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\text{arctg}\,x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{2x \cdot \text{arctg}\,x - (1+x^2) \cdot \frac{1}{1+x^2}}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

Упростим выражение:

$y' = \frac{2x \text{arctg}\,x - 1}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x \text{arctg}\,x - 1}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\arccos \frac{x}{2}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{4-x^2}$ и $v(x) = \arccos \frac{x}{2}$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{4-x^2})' = ((4-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\arccos \frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:

$y' = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}) \cdot \arccos \frac{x}{2} - \sqrt{4-x^2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}})}{(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{-\frac{x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}} + 1}{(\arccos \frac{x}{2})^2} = \frac{\frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}}}{(\arccos \frac{x}{2})^2} = \frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

Ответ: $y' = \frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{9+x^2}{\text{arccotg} \frac{x}{3}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 9+x^2$ и $v(x) = \text{arccotg} \frac{x}{3}$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (9+x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\text{arccotg} \frac{x}{3})' = -\frac{1}{1 + (\frac{x}{3})^2} \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{9}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{\frac{9+x^2}{9}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{9}{9+x^2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{3}{9+x^2}$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{2x \cdot \text{arccotg} \frac{x}{3} - (9+x^2) \cdot (-\frac{3}{9+x^2})}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.

Упростим выражение:

$y' = \frac{2x \text{arccotg} \frac{x}{3} + 3}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x \text{arccotg} \frac{x}{3} + 3}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.