Номер 7.82, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.82. 1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3;$

2) $y = x^3 - 3x;$

3) $y = x^4 - 2x^2;$

4) $y = \frac{1}{x} + x.$

1) Для функции $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 = x^2 - x - 2$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^2 - x - 2 = 0$.

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$. График производной $y' = x^2 - x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y(x)$ возрастает.

• На интервале $(-1, 2)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция $y(x)$ убывает.

• На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y(x)$ возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции в этой точке: $y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) + 3 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 3 = 5 - \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$.

• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 2$.

Значение функции в этой точке: $y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2(2) + 3 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 3 = \frac{8}{3} - 3 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 2]$; точка максимума $(-1, \frac{25}{6})$, точка минимума $(2, -\frac{1}{3})$.

2) Для функции $y = x^3 - 3x$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

3. Найдем критические точки: $y' = 0$.

$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. График $y' = 3x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает.

• На интервале $(-1, 1)$ $y' < 0$, функция убывает.

• На интервале $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции: $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка локального минимума. $x_{min} = 1$.

Значение функции: $y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $(-1, 2)$, точка минимума $(1, -2)$.

3) Для функции $y = x^4 - 2x^2$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную: $y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем критические точки: $y' = 0$.

$4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 4x(x - 1)(x + 1) = 0$.

Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$ методом интервалов.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) < 0$, функция убывает.

• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) > 0$, функция возрастает.

• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) < 0$, функция убывает.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $y'(2) = 4(2)(2^2-1) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка минимума. $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.

• В точке $x = 0$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка максимума. $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка минимума. $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$; точка максимума $(0, 0)$, точки минимума $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.

4) Для функции $y = \frac{1}{x} + x$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $y' = (\frac{1}{x} + x)' = -\frac{1}{x^2} + 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 1$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$, $x^2 - 1 > 0$, значит $y' > 0$ и функция возрастает.

• На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$, $x^2 - 1 < 0$, значит $y' < 0$ и функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1$ (смена знака $y'$ с «+» на «−») — точка локального максимума. $x_{max} = -1$.

Значение функции: $y(-1) = \frac{1}{-1} + (-1) = -1 - 1 = -2$.

• В точке $x = 1$ (смена знака $y'$ с «−» на «+») — точка локального минимума. $x_{min} = 1$.

Значение функции: $y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $[-1, 0)$ и $(0, 1]$; точка максимума $(-1, -2)$, точка минимума $(1, 2)$.