Номер 7.81, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.81–7.83 найдите точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума.

7. 81.

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = 7x^2 - 56x + 8$;

3) $y = x^2 + 2x - 3$;

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$.

1) Для функции $y = 4x - x^2$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$4 - 2x = 0$
$2x = 4$
$x = 2$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < 2$, например $x=0$, $y'(0) = 4 - 2(0) = 4 > 0$, функция возрастает.Для $x > 2$, например $x=3$, $y'(3) = 4 - 2(3) = -2 < 0$, функция убывает.Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=2$, эта точка является точкой максимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке максимума.
$y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = 2$, значение функции в этой точке $y_{max} = 4$.

2) Для функции $y = 7x^2 - 56x + 8$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (7x^2 - 56x + 8)' = 14x - 56$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$14x - 56 = 0$
$14x = 56$
$x = 4$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < 4$, например $x=0$, $y'(0) = 14(0) - 56 = -56 < 0$, функция убывает.Для $x > 4$, например $x=5$, $y'(5) = 14(5) - 56 = 14 > 0$, функция возрастает.Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=4$, эта точка является точкой минимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума.
$y(4) = 7(4^2) - 56(4) + 8 = 7 \cdot 16 - 224 + 8 = 112 - 224 + 8 = -104$.
Ответ: точка минимума $x_{min} = 4$, значение функции в этой точке $y_{min} = -104$.

3) Для функции $y = x^2 + 2x - 3$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$.
Шаг 3: Определим знак производной в окрестности критической точки.Для $x < -1$, например $x=-2$, $y'(-2) = 2(-2) + 2 = -2 < 0$, функция убывает.Для $x > -1$, например $x=0$, $y'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0$, функция возрастает.Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x=-1$, эта точка является точкой минимума.
Шаг 4: Найдем значение функции в точке минимума.
$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Ответ: точка минимума $x_{min} = -1$, значение функции в этой точке $y_{min} = -4$.

4) Для функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$ находим точки экстремума. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Шаг 1: Найдем производную функции.
$y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.
Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
$3x^2 + 12x + 9 = 0$.
Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Шаг 3: Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; +\infty)$.
$y' = 3(x+1)(x+3)$.
Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$, $y'(-4) = 3(-4+1)(-4+3) = 3(-3)(-1) = 9 > 0$, функция возрастает.Для $x \in (-3; -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3(-2+1)(-2+3) = 3(-1)(1) = -3 < 0$, функция убывает.Для $x \in (-1; +\infty)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0+1)(0+3) = 9 > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-3$ производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.В точке $x=-1$ производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.
Шаг 4: Найдем значения функции в точках экстремума.
В точке максимума $x = -3$: $y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 6(9) - 27 = -27 + 54 - 27 = 0$.
В точке минимума $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6(1) - 9 = -1 + 6 - 9 = -4$.
Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, значение функции $y_{max} = 0$; точка минимума $x_{min} = -1$, значение функции $y_{min} = -4$.