Номер 7.104, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.104. $y = \frac{2x - 5}{x^2 - 4}$;

1) [-1.5; 1.5];

2) [3; 5];

3) [-3; 5].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{2x - 5}{x^2 - 4}$ на заданных отрезках, сначала найдем ее производную и критические точки.

Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x-5}{x^2-4}\right)' = \frac{(2x-5)'(x^2-4) - (2x-5)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2(x^2-4) - (2x-5)(2x)}{(x^2-4)^2}$

$y' = \frac{2x^2-8 - 4x^2+10x}{(x^2-4)^2} = \frac{-2x^2+10x-8}{(x^2-4)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (точки, где числитель равен нулю):

$-2x^2 + 10x - 8 = 0$

Разделив на -2, получим: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения (стационарные точки): $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Производная не существует в точках $x = -2$ и $x = 2$, где знаменатель равен нулю. Эти точки являются точками разрыва функции.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

1) Отрезок $[-1.5, 1.5]$.

Этот отрезок полностью входит в область определения функции, так как точки разрыва $x=-2$ и $x=2$ в него не попадают. Следовательно, функция на нем непрерывна.

Из критических точек ($x=1$ и $x=4$) в данный отрезок попадает только точка $x=1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, вычислим ее значения на концах отрезка и в критической точке $x=1$.

$y(-1.5) = \frac{2(-1.5) - 5}{(-1.5)^2 - 4} = \frac{-3 - 5}{2.25 - 4} = \frac{-8}{-1.75} = \frac{8}{1.75} = \frac{8}{7/4} = \frac{32}{7}$.

$y(1.5) = \frac{2(1.5) - 5}{(1.5)^2 - 4} = \frac{3 - 5}{2.25 - 4} = \frac{-2}{-1.75} = \frac{2}{1.75} = \frac{2}{7/4} = \frac{8}{7}$.

$y(1) = \frac{2(1) - 5}{1^2 - 4} = \frac{2 - 5}{1 - 4} = \frac{-3}{-3} = 1$.

Сравним полученные значения: $1$, $\frac{8}{7}$ (что примерно 1.14) и $\frac{32}{7}$ (что примерно 4.57).

Наименьшее значение равно $1$, а наибольшее равно $\frac{32}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1.5, 1.5]$ равно $1$, наибольшее значение равно $\frac{32}{7}$.

2) Отрезок $[3, 5]$.

Этот отрезок также полностью входит в область определения функции. Функция на нем непрерывна.

Из критических точек ($x=1$ и $x=4$) в данный отрезок попадает только точка $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=4$.

$y(3) = \frac{2(3) - 5}{3^2 - 4} = \frac{6 - 5}{9 - 4} = \frac{1}{5}$.

$y(5) = \frac{2(5) - 5}{5^2 - 4} = \frac{10 - 5}{25 - 4} = \frac{5}{21}$.

$y(4) = \frac{2(4) - 5}{4^2 - 4} = \frac{8 - 5}{16 - 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{5}=0.2$, $\frac{5}{21} \approx 0.238$ и $\frac{1}{4}=0.25$.

Наименьшее значение равно $\frac{1}{5}$, а наибольшее равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[3, 5]$ равно $\frac{1}{5}$, наибольшее значение равно $\frac{1}{4}$.

3) Отрезок $[-3, 5]$.

На данном отрезке находятся точки разрыва функции $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках функция не определена и имеет вертикальные асимптоты. По теореме Вейерштрасса, если функция не является непрерывной на отрезке, она не обязательно достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Исследуем поведение функции вблизи точек разрыва. Например, рассмотрим поведение функции вблизи точки $x=2$.

При $x$, стремящемся к $2$ слева ($x \to 2^-$), числитель $2x-5$ стремится к $-1$, а знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ стремится к $0$ с отрицательной стороны. Следовательно, $y \to +\infty$.

При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), числитель $2x-5$ стремится к $-1$, а знаменатель $x^2-4$ стремится к $0$ с положительной стороны. Следовательно, $y \to -\infty$.

Поскольку на отрезке $[-3, 5]$ функция принимает как сколь угодно большие положительные, так и сколь угодно малые отрицательные значения, она является неограниченной на этом отрезке.

Ответ: на отрезке $[-3, 5]$ наибольшего и наименьшего значений не существует.