Номер 7.108, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.108. 1) $y = 3x^2 - x^3;$

2) $y = 2x^2 - x^4;$

3) $y = (x + 3)^3;$

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17.$

1) $y = 3x^2 - x^3$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдём её производную.$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:$6x - 3x^2 = 0$$3x(2 - x) = 0$Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной в каждом из этих интервалов.- В интервале $(-\infty, 0)$, возьмём точку $x = -1$. $y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.- В интервале $(0, 2)$, возьмём точку $x = 1$. $y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.- В интервале $(2, +\infty)$, возьмём точку $x = 3$. $y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.Поскольку в точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$. Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точка максимума $x=2$, $y_{max}=4$.

2) $y = 2x^2 - x^4$

Найдём производную функции:$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:$4x - 4x^3 = 0$$4x(1 - x^2) = 0$$4x(1 - x)(1 + x) = 0$Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.- В интервале $(-\infty, -1)$, возьмём точку $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$. Функция возрастает.- В интервале $(-1, 0)$, возьмём точку $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$. Функция убывает.- В интервале $(0, 1)$, возьмём точку $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.- В интервале $(1, +\infty)$, возьмём точку $x = 2$. $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$. Функция убывает.В точке $x=-1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2-1 = 1$.В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2-1 = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки максимума $x=-1$, $y_{max}=1$ и $x=1$, $y_{max}=1$. Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$.

3) $y = (x + 3)^3$

Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:$y' = ((x + 3)^3)' = 3(x + 3)^2 \cdot (x+3)' = 3(x + 3)^2$.Найдём критические точки:$3(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$.Выражение $(x+3)^2$ неотрицательно для любого $x$, то есть $y' = 3(x+3)^2 \ge 0$ при всех $x \in R$. Производная равна нулю только в одной точке $x=-3$.Так как производная не меняет знак (она всегда неотрицательна), функция не имеет точек экстремума. Она является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Точка $x=-3$ является стационарной точкой (точкой перегиба).
Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Точек экстремума нет.

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$

Найдём производную функции:$y' = (x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17)' = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$.Для нахождения критических точек необходимо решить кубическое уравнение:$4x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0$.Это уравнение не имеет очевидных рациональных корней, и его точное решение приводит к громоздким выражениям. Проведём качественный анализ, исследуя производную $y'$.Найдём вторую производную $y''$ (производную от $y'$):$y'' = (4x^3 + 12x^2 - 36x + 1)' = 12x^2 + 24x - 36 = 12(x^2 + 2x - 3) = 12(x+3)(x-1)$.Вторая производная равна нулю в точках $x=-3$ и $x=1$. Это точки экстремума для функции $y'$.Найдём значения $y'$ в этих точках:$y'(-3) = 4(-3)^3 + 12(-3)^2 - 36(-3) + 1 = -108 + 108 + 108 + 1 = 109$.$y'(1) = 4(1)^3 + 12(1)^2 - 36(1) + 1 = 4 + 12 - 36 + 1 = -19$.Поскольку $y'(-3) = 109 > 0$ (локальный максимум $y'$) и $y'(1) = -19 < 0$ (локальный минимум $y'$), и $y'$ является непрерывной функцией, то уравнение $y'=0$ имеет три различных действительных корня. Обозначим их $x_1, x_2, x_3$.- $\lim_{x \to -\infty} y'(x) = -\infty$ и $y'(-3) = 109$, следовательно, один корень $x_1$ находится в интервале $(-\infty, -3)$.- $y'(-3) = 109$ и $y'(1) = -19$, следовательно, второй корень $x_2$ находится в интервале $(-3, 1)$.- $y'(1) = -19$ и $\lim_{x \to +\infty} y'(x) = +\infty$, следовательно, третий корень $x_3$ находится в интервале $(1, +\infty)$.На основе знаков $y'$ на интервалах, образованных этими корнями, определим монотонность функции $y$:- На $(-\infty, x_1)$ имеем $y' < 0$, функция $y$ убывает.- На $(x_1, x_2)$ имеем $y' > 0$, функция $y$ возрастает.- На $(x_2, x_3)$ имеем $y' < 0$, функция $y$ убывает.- На $(x_3, +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция $y$ возрастает.Таким образом, функция $y(x)$ имеет точки локального минимума при $x=x_1$ и $x=x_3$, и точку локального максимума при $x=x_2$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[x_1, x_2]$ и $[x_3, +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$, где $x_1, x_2, x_3$ – это три действительных корня уравнения $4x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0$. Функция имеет два локальных минимума в точках $x_1$ и $x_3$, и один локальный максимум в точке $x_2$.