Номер 7.115, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.115. Найдите радиус цилиндра наибольшего объема, вписанного в данную сферу радиусом $R$.

Решение:

Пусть $R$ — радиус данной сферы, $r$ и $h$ — радиус основания и высота вписанного в сферу цилиндра соответственно.

Рассмотрим осевое сечение. Сечением сферы является большой круг радиуса $R$, а сечением вписанного цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности. Из прямоугольного треугольника (на рисунке выделен цветом), образованного радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $h/2$ (катеты), по теореме Пифагора имеем соотношение:$r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Нам необходимо найти максимальное значение этого объема.

Чтобы найти максимум, выразим объем как функцию одной переменной. Из соотношения $r^2 + h^2/4 = R^2$ выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - h^2/4$. Подставим это выражение в формулу объема:$V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3$.Высота цилиндра $h$ может принимать значения в интервале $(0, 2R)$.

Для нахождения точки экстремума функции $V(h)$ найдем ее производную по переменной $h$ и приравняем к нулю:$V'(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 h - \frac{\pi}{4} h^3) = \pi R^2 - \frac{3\pi}{4} h^2$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$\pi R^2 - \frac{3\pi}{4} h^2 = 0$
$\pi R^2 = \frac{3\pi}{4} h^2$
$R^2 = \frac{3}{4} h^2$
$h^2 = \frac{4R^2}{3}$
$h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ (берем положительное значение, так как высота не может быть отрицательной).

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак второй производной:$V''(h) = -\frac{6\pi}{4}h = -\frac{3\pi}{2}h$.Так как $h = \frac{2R}{\sqrt{3}} > 0$, вторая производная $V''(h)$ отрицательна, следовательно, при данном значении $h$ объем цилиндра достигает своего максимального значения.

Задача состоит в том, чтобы найти радиус цилиндра $r$. Подставим найденное значение $h^2$ в соотношение между $r$ и $h$:$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} = R^2 - \frac{1}{4} \left(\frac{4R^2}{3}\right) = R^2 - \frac{R^2}{3} = \frac{2R^2}{3}$.

Отсюда находим искомый радиус $r$:$r = \sqrt{\frac{2R^2}{3}} = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $R\sqrt{\frac{2}{3}}$.