Номер 7.116, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.116. Впишите в остроугольный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, длина которого равна $a$, и высотой $BD$, проведенной к этому основанию, длиной $h$.

Впишем в этот треугольник прямоугольник $KLMN$ так, чтобы его сторона $KL$ лежала на основании $AC$ треугольника, а вершины $N$ и $M$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим стороны прямоугольника: ширину $KL = NM = x$ и высоту $NK = ML = y$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = xy$. Наша задача — найти максимальное значение этой площади.

Рассмотрим треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником. Его основание $NM$ параллельно основанию $AC$ треугольника $ABC$, и его длина равна $x$. Высота треугольника $NBM$, проведенная из вершины $B$ к основанию $NM$, равна разности высоты всего треугольника $h$ и высоты прямоугольника $y$, то есть ее длина составляет $h-y$.

Поскольку сторона $NM$ прямоугольника параллельна основанию $AC$ ($NM \parallel AC$), то треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих высот равно отношению их оснований:

$\frac{\text{высота } \triangle NBM}{\text{высота } \triangle ABC} = \frac{\text{основание } NM}{\text{основание } AC}$

Подставив обозначенные длины, получим пропорцию:

$\frac{h-y}{h} = \frac{x}{a}$

Из этого соотношения выразим ширину прямоугольника $x$ через его высоту $y$:

$x = a \cdot \frac{h-y}{h} = a \left(1 - \frac{y}{h}\right)$

Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу площади прямоугольника $S = xy$, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $y$:

$S(y) = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) y = ay - \frac{a}{h}y^2$

Функция $S(y) = -\frac{a}{h}y^2 + ay$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ (равный $-\frac{a}{h}$) отрицателен ($a>0$, $h>0$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы вида $f(t) = At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции площади $A = -\frac{a}{h}$ и $B = a$.

Найдем значение $y$, при котором площадь $S$ максимальна:

$y = -\frac{a}{2 \left(-\frac{a}{h}\right)} = \frac{a}{\frac{2a}{h}} = \frac{a \cdot h}{2a} = \frac{h}{2}$

Таким образом, высота искомого прямоугольника должна быть равна половине высоты треугольника.

Теперь найдем соответствующую ширину прямоугольника $x$:

$x = a \left(1 - \frac{y}{h}\right) = a \left(1 - \frac{h/2}{h}\right) = a \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$

Ширина прямоугольника с наибольшей площадью равна половине основания треугольника.

Наконец, вычислим наибольшую возможную площадь этого прямоугольника:

$S_{\text{max}} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$

Интересно отметить, что площадь самого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$, следовательно, максимальная площадь вписанного прямоугольника составляет ровно половину площади треугольника.

Ответ: Наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в остроугольный треугольник с основанием $a$ и высотой $h$, равна $\frac{ah}{4}$.