Номер 7.110, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.110. Среди всех прямоугольников с периметром $2a$ найдите такой, который имеет наибольшую площадь.

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$. По условию задачи, периметр равен $2a$.

$2(x+y) = 2a$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$x+y = a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам нужно найти прямоугольник с наибольшей площадью, то есть найти максимум функции $S(x, y) = xy$ при условии $x+y=a$.

Выразим одну из сторон, например $y$, через другую из условия для периметра:

$y = a-x$

Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x(a-x) = ax - x^2$

Поскольку $x$ и $y$ - это длины сторон, они должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$. Из $y > 0$ следует, что $a-x > 0$, то есть $x < a$. Таким образом, мы ищем максимум функции $S(x)$ на интервале $x \in (0, a)$.

Функция $S(x) = -x^2 + ax$ является квадратичной, ее график - парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Максимальное значение такая функция достигает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $f(z) = Az^2+Bz+C$ находится по формуле $z_v = -B/(2A)$. Для нашей функции $S(x)$ имеем $A=-1$ и $B=a$.

$x = \frac{-a}{2 \cdot (-1)} = \frac{a}{2}$

Найдем вторую сторону прямоугольника:

$y = a-x = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны: $x = y = a/2$. Это означает, что прямоугольник является квадратом.

Для проверки можно использовать производную. Найдем производную функции площади $S(x)$:

$S'(x) = (ax - x^2)' = a - 2x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$a - 2x = 0 \implies x = \frac{a}{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (a - 2x)' = -2$

Так как $S''(x) < 0$, найденная точка $x=a/2$ является точкой максимума.

Следовательно, среди всех прямоугольников с заданным периметром $2a$ наибольшую площадь имеет квадрат со стороной $a/2$.

Ответ: Квадрат со стороной $a/2$.