Номер 7.107, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.107–7.109 исследуйте и постройте график указанных функций.

7.107.

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = x^2 + 2x - 3$;

3) $y = 1 - x - x^2$;

4) $y = 2x^2 - x - 3$.

1) $y = 4x - x^2$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = -x^2 + 4x$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$.
Ордината вершины: $y_в = y(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.
Координаты вершины: $(2; 4)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = 2$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4)=0 \implies x_1=0, x_2=4$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

6. Область значений функции: так как ветви параболы направлены вниз, $E(y) = (-\infty; y_в] = (-\infty; 4]$.

7. Промежутки монотонности. Функция возрастает при $x \in (-\infty; 2]$ и убывает при $x \in [2; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем найденные точки: вершину $(2; 4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2; 4)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии $x=2$. Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

2) $y = x^2 + 2x - 3$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = x^2 + 2x - 3$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.
Ордината вершины: $y_в = y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Координаты вершины: $(-1; -4)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = -1$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = -3$. Точки пересечения — $(1; 0)$ и $(-3; 0)$.

6. Область значений функции: так как ветви параболы направлены вверх, $E(y) = [y_в; +\infty) = [-4; +\infty)$.

7. Промежутки монотонности. Функция убывает при $x \in (-\infty; -1]$ и возрастает при $x \in [-1; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем найденные точки: вершину $(-1; -4)$, точки пересечения с осями $(0; -3)$, $(1; 0)$, $(-3; 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1; -4)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии $x=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$ и $(1; 0)$, с осью Oy: $(0; -3)$. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и возрастает на $[-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

3) $y = 1 - x - x^2$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = -x^2 - x + 1$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$.
Ордината вершины: $y_в = y(-0.5) = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 1 = -0.25 + 0.5 + 1 = 1.25$.
Координаты вершины: $(-0.5; 1.25)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = -0.5$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - x + 1 = 0 \implies x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$.
Корни: $x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{5})/2$.
$x_1 = (-1 - \sqrt{5})/2 \approx -1.62$, $x_2 = (-1 + \sqrt{5})/2 \approx 0.62$.
Точки пересечения: $((-1 - \sqrt{5})/2; 0)$ и $((-1 + \sqrt{5})/2; 0)$.

6. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1.25]$.

7. Промежутки монотонности. Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем вершину $(-0.5; 1.25)$, точку $(0; 1)$ и симметричную ей точку $(-1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-0.5; 1.25)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии $x=-0.5$. Точки пересечения с осью Ox: $((-1 \pm \sqrt{5})/2; 0)$, с осью Oy: $(0; 1)$. Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 1.25]$.

4) $y = 2x^2 - x - 3$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = 2x^2 - x - 3$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot 2) = 1/4 = 0.25$.
Ордината вершины: $y_в = y(0.25) = 2(0.25)^2 - 0.25 - 3 = 2(0.0625) - 0.25 - 3 = 0.125 - 0.25 - 3 = -3.125$.
Координаты вершины: $(0.25; -3.125)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = 0.25$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 2(0)^2 - 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_{1,2} = (1 \pm 5)/(2 \cdot 2)$.
$x_1 = (1-5)/4 = -1$, $x_2 = (1+5)/4 = 6/4 = 1.5$.
Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(1.5; 0)$.

6. Область значений функции: $E(y) = [-3.125; +\infty)$.

7. Промежутки монотонности. Функция убывает на $(-\infty; 0.25]$ и возрастает на $[0.25; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем вершину $(0.25; -3.125)$ и точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(1.5; 0)$, $(0; -3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0.25; -3.125)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии $x=0.25$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(1.5; 0)$, с осью Oy: $(0; -3)$. Функция убывает на $(-\infty; 0.25]$ и возрастает на $[0.25; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-3.125; +\infty)$.