Номер 7.113, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.113. Разложите 36 на два положительных множителя так, чтобы сумма этих множителей была наименьшей.

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя. Согласно условию задачи, их произведение равно 36, а их сумма должна быть наименьшей.

Запишем эти условия в виде математической системы:
1. $x > 0$ и $y > 0$
2. $x \cdot y = 36$

Мы ищем минимальное значение функции суммы $S = x + y$.

Способ 1: Использование производной

Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = \frac{36}{x}$. Поскольку $x$ — положительное число, это выражение всегда определено. Подставим его в выражение для суммы, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x + \frac{36}{x}$

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти её производную и приравнять к нулю.

$S'(x) = (x + \frac{36}{x})' = (x)' + (36x^{-1})' = 1 - 36x^{-2} = 1 - \frac{36}{x^2}$

Теперь найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$:

$1 - \frac{36}{x^2} = 0$

$1 = \frac{36}{x^2}$

$x^2 = 36$

Так как по условию $x > 0$, выбираем положительный корень: $x = 6$.

Чтобы убедиться, что $x=6$ является точкой минимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (1 - 36x^{-2})' = 0 - 36 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{72}{x^3}$

При $x=6$, значение второй производной $S''(6) = \frac{72}{6^3} = \frac{72}{216}$, что больше нуля. Следовательно, $x=6$ — это точка минимума.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{36}{6} = 6$

Таким образом, множители равны 6 и 6, а их минимальная сумма равна $6+6=12$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство, связывающее их среднее арифметическое и среднее геометрическое:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Применим это неравенство к нашим множителям $x$ и $y$:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x \cdot y}$

Поскольку мы знаем, что $x \cdot y = 36$, подставим это значение:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{36}$

$\frac{x+y}{2} \ge 6$

$x+y \ge 12$

Это неравенство показывает, что сумма $x+y$ всегда больше или равна 12. Следовательно, ее наименьшее значение равно 12. Это значение достигается, когда выполняется условие равенства, то есть когда $x=y$.

Если $x=y$ и $x \cdot y = 36$, то $x \cdot x = 36$, или $x^2 = 36$. Так как $x>0$, получаем $x=6$. Соответственно, $y$ также равен 6.

Оба метода показывают, что для получения наименьшей суммы множители должны быть равны друг другу.

Ответ: Число 36 следует разложить на два множителя: 6 и 6.