Номер 7.120, страница 227 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.120. Какой сектор нужно вырезать из круга радиусом $R$, чтобы из оставшейся части круга можно было построить конус наибольшего объема?

Решение:

Пусть $R$ — радиус исходного круга. Для построения конуса из круга вырезается сектор, а из оставшейся части формируется боковая поверхность конуса. При этом радиус исходного круга $R$ становится длиной образующей конуса, которую мы обозначим как $l$, то есть $l=R$.

Пусть $r$ и $h$ — радиус основания и высота конуса соответственно. Объём конуса определяется формулой $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Образующая конуса $l$, радиус основания $r$ и высота $h$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Так как $l=R$, то $R^2 = r^2 + h^2$, откуда $h = \sqrt{R^2 - r^2}$. Подставим это выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы выразить объём как функцию от радиуса основания $r$: $V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2}$.

Нам необходимо найти значение $r$ (в диапазоне от $0$ до $R$), при котором объём $V$ будет максимальным. Поскольку объём — величина положительная, его максимум будет достигаться при том же значении $r$, что и максимум его квадрата $V^2$. Это позволяет избавиться от квадратного корня, что упрощает нахождение производной. $V^2(r) = \left(\frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{R^2 - r^2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{9} r^4 (R^2 - r^2) = \frac{\pi^2}{9} (R^2 r^4 - r^6)$.

Чтобы найти точку экстремума, найдём производную функции $V^2(r)$ по переменной $r$ и приравняем её к нулю. $\frac{d(V^2)}{dr} = \frac{\pi^2}{9} \frac{d}{dr}(R^2 r^4 - r^6) = \frac{\pi^2}{9} (4R^2 r^3 - 6r^5)$.

Приравниваем производную к нулю. Так как радиус $r$ не может быть равен нулю для невырожденного конуса, мы можем разделить на $r^3$: $\frac{\pi^2}{9} (4R^2 r^3 - 6r^5) = 0$ $4R^2 r^3 - 6r^5 = 0$ $r^3 (4R^2 - 6r^2) = 0$ $4R^2 - 6r^2 = 0$ $6r^2 = 2R^2$ $r^2 = \frac{2}{3}R^2 \implies r = R\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$.

Это значение $r$ доставляет максимум объёму, так как на границах области определения ($r=0$ и $r=R$) объём равен нулю.

Теперь определим, какому углу сектора это соответствует. Длина дуги оставшегося сектора (с углом $\alpha$) равна $L = \alpha R$. Эта дуга становится окружностью основания конуса, длина которой равна $2\pi r$. Следовательно, $\alpha R = 2\pi r$. Подставим найденное оптимальное значение $r$: $\alpha R = 2\pi \left(R\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ $\alpha = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}$ (в радианах).

Это угол $\alpha$ оставшейся части круга, из которой сделан конус. Вопрос задачи состоит в том, какой сектор нужно вырезать. Угол этого сектора $\beta$ равен разности полного угла ($2\pi$ радиан) и угла $\alpha$: $\beta = 2\pi - \alpha = 2\pi - 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\pi \left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right) = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ радиан.

В градусной мере этот угол составляет: $\beta_{град} = 360^\circ \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 360^\circ (1 - 0.8165) \approx 66.06^\circ$.

Ответ: для получения конуса наибольшего объёма из круга радиусом $R$ нужно вырезать сектор с центральным углом $\beta = 2\pi \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ радиан, что составляет приблизительно $66.06^\circ$.