Номер 7.126, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.126. Решите неравенство:

1) $\frac{8|x|-14}{x-3} \le 4$;

2) $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} \le 0$.

1) Решим неравенство $\frac{8|x|-14}{x-3} \le 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{8x-14}{x-3} \le 4$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{8x-14}{x-3} - 4 \le 0$

$\frac{8x-14 - 4(x-3)}{x-3} \le 0$

$\frac{8x-14 - 4x + 12}{x-3} \le 0$

$\frac{4x - 2}{x-3} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x-2=0 \Rightarrow x = 0,5$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x = 3$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.

Решением неравенства $\frac{4x-2}{x-3} \le 0$ является промежуток $[0,5; 3)$.

Учитывая условие этого случая $x \ge 0$, пересекаем решение $[0,5; 3)$ с промежутком $[0; +\infty)$. Решение для первого случая: $x \in [0,5; 3)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{-8x-14}{x-3} \le 4$

$\frac{-8x-14}{x-3} - 4 \le 0$

$\frac{-8x-14 - 4(x-3)}{x-3} \le 0$

$\frac{-8x-14 - 4x + 12}{x-3} \le 0$

$\frac{-12x - 2}{x-3} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $-12x-2=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x = 3$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки.

Решением неравенства $\frac{-12x-2}{x-3} \le 0$ является объединение промежутков $(-\infty; -1/6] \cup (3; +\infty)$.

Учитывая условие этого случая $x < 0$, пересекаем решение с промежутком $(-\infty; 0)$. Решение для второго случая: $x \in (-\infty; -1/6]$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

$(-\infty; -1/6] \cup [0,5; 3)$.

Ответ: $(-\infty; -1/6] \cup [0,5; 3)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} \le 0$.

ОДЗ: $x+8 \ne 0 \Rightarrow x \ne -8$.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x^2+1)(x-1)}{x+8} \le 0$

Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любом действительном $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $x^2+1$, не меняя знака неравенства.

$\frac{x-1}{x+8} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x+8=0 \Rightarrow x=-8$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток между корнями.

Решением является промежуток $(-8; 1]$.

Ответ: $(-8; 1]$.