Страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется дискретной СВ? Приведите пример.

2. Что вы понимаете под непрерывной СВ? Поясните на примере.

3. Какая дискретная СВ называется распределенной по биномиальному закону?

4. Какая дискретная СВ называется распределенной по гипергеометрическому закону?

5. Какая дискретная СВ называется распределенной по геометрическому закону?

1. Что называется дискретной СВ? Приведите пример.

Дискретной (или прерывной) случайной величиной (СВ) называется такая случайная величина, множество возможных значений которой конечно или счётно. Это означает, что все её возможные значения можно перечислить или пронумеровать. Между любыми двумя её возможными значениями всегда есть промежуток, в котором других возможных значений нет.

Пример: Число очков, выпавшее при однократном бросании игральной кости. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Это множество является конечным. Другой пример — число выстрелов до первого попадания в цель; здесь множество возможных значений счётно (1, 2, 3, ...), но значения также являются отдельными, изолированными друг от друга.

Ответ: Дискретная случайная величина — это случайная величина, принимающая отдельные, изолированные значения, которые можно пересчитать. Пример: число студентов в аудитории.

2. Что вы понимаете под непрерывной СВ? Поясните на примере.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая случайная величина, возможные значения которой полностью заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток на числовой оси. Это означает, что между любыми двумя возможными значениями непрерывной случайной величины существует бесконечное множество других её возможных значений. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное, заранее заданное значение, равна нулю.

Пример: Рост взрослого человека. Если мы знаем, что рост людей находится в диапазоне от 150 см до 200 см, то случайная величина «рост наугад выбранного человека» может принять абсолютно любое значение из этого интервала: 175 см, 175.1 см, 175.11 см и т.д. Другие примеры: температура воздуха, время ожидания автобуса, дальность полета снаряда.

Ответ: Непрерывная случайная величина — это случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Пример: масса случайно выбранного яблока.

3. Какая дискретная СВ называется распределенной по биномиальному закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение, если она представляет собой число «успехов» в серии из $n$ независимых одинаковых испытаний (схема Бернулли). В каждом таком испытании возможны только два исхода: «успех» (с вероятностью $p$) и «неудача» (с вероятностью $q = 1-p$).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ «успехов», вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$. Параметрами биномиального закона являются число испытаний $n$ и вероятность «успеха» $p$.

Ответ: Дискретная случайная величина, равная числу успехов в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность успеха постоянна и равна $p$.

4. Какая дискретная СВ называется распределенной по гипергеометрическому закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет гипергеометрическое распределение, если она описывает число «успешных» исходов при извлечении выборки без возвращения из конечной совокупности.

Рассмотрим совокупность из $N$ объектов, среди которых $K$ объектов обладают некоторым признаком («успешные»). Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается выборка объемом $n$. Случайная величина $X$ — это число «успешных» объектов в этой выборке. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ «успешных» объектов, определяется формулой:

$P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $C_a^b$ — число сочетаний из $a$ по $b$. В отличие от биномиального распределения, здесь испытания (извлечение объектов) являются зависимыми, так как состав совокупности меняется после каждого извлечения.

Ответ: Дискретная случайная величина, равная числу объектов с определенным признаком в случайной выборке объема $n$, взятой без возвращения из совокупности $N$ объектов, в которой $K$ объектов обладают этим признаком.

5. Какая дискретная СВ называется распределенной по геометрическому закону?

Дискретная случайная величина $X$ имеет геометрическое распределение, если она представляет собой номер первого «успешного» испытания в последовательности независимых испытаний Бернулли.

Проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность «успеха» постоянна и равна $p$. Испытания продолжаются до тех пор, пока не наступит первый «успех». Случайная величина $X$ — это общее число проведенных испытаний, включая первое успешное. Вероятность того, что первый «успех» произойдет в $k$-м по счету испытании, вычисляется по формуле:

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$

Это означает, что первые $k-1$ испытаний завершились «неудачей» (с вероятностью $1-p$ каждое), а $k$-е испытание — «успехом» (с вероятностью $p$).

Ответ: Дискретная случайная величина, равная номеру первого успешного испытания в серии независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха $p$.

8.25. Каким законом распределена дискретная СВ, заданная в упражнениях: 1) 8.1; 2) 8.2; 3) 8.9?

Поскольку тексты упражнений 8.1, 8.2 и 8.9 не предоставлены, ответ основан на анализе наиболее вероятных сценариев, описываемых в задачах по теории вероятностей, которые приводят к стандартным законам распределения дискретных случайных величин (СВ).

1) 8.1

Предположим, что в упражнении 8.1 описывается ситуация, где проводится фиксированное число $n$ независимых испытаний. В каждом испытании может произойти одно из двух событий: "успех" с вероятностью $p$ или "неудача" с вероятностью $q=1-p$. Вероятность успеха $p$ одинакова для всех испытаний. Случайная величина $X$ — это общее число "успехов" в $n$ испытаниях. Такая схема эксперимента называется схемой Бернулли.

Такая случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, равное $k$ (число успехов), определяется формулой Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$

где $k$ может принимать значения $0, 1, 2, \dots, n$, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Пример: Проводится 10 подбрасываний монеты. Случайная величина $X$ — число выпадений "орла". Здесь $n=10$, $p=0.5$. Величина $X$ распределена по биномиальному закону.

Ответ: Биномиальный закон распределения.

2) 8.2

Предположим, что в упражнении 8.2 описывается серия независимых испытаний по схеме Бернулли, которые проводятся до тех пор, пока не наступит первый "успех". Вероятность "успеха" $p$ в каждом испытании постоянна. Случайная величина $X$ — это номер испытания, в котором впервые произошел "успех".

Такая случайная величина подчиняется геометрическому закону распределения. Вероятность того, что первый успех наступит ровно в $k$-м испытании, равна вероятности того, что в первых $k-1$ испытаниях была "неудача", а в $k$-м — "успех". Эта вероятность вычисляется по формуле:

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$

где $k$ может принимать значения $1, 2, 3, \dots$.

Пример: Стрелок стреляет по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0.7$. Случайная величина $X$ — число сделанных выстрелов. Здесь $p=0.7$. Величина $X$ распределена по геометрическому закону.

Ответ: Геометрический закон распределения.

3) 8.9

Предположим, что в упражнении 8.9 рассматривается конечная совокупность из $N$ объектов, среди которых $K$ объектов обладают некоторым признаком ("успехи"). Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается выборка объемом $n$. Случайная величина $X$ — это число объектов с заданным признаком ("успехов") в полученной выборке.

Такая случайная величина подчиняется гипергеометрическому закону распределения. В отличие от биномиального распределения, здесь испытания (извлечение объектов) зависимы, так как после каждого извлечения состав оставшейся совокупности меняется. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ объектов с нужным признаком, определяется формулой:

$P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $k$ — число "успехов" в выборке, $C_K^k$ — число способов выбрать $k$ "успешных" объектов из $K$ имеющихся, $C_{N-K}^{n-k}$ — число способов выбрать $n-k$ "неуспешных" объектов из $N-K$ оставшихся, а $C_N^n$ — общее число способов выбрать $n$ объектов из $N$.

Пример: В партии из 50 деталей 10 бракованных. Наугад отбирают 5 деталей. Случайная величина $X$ — число бракованных деталей в выборке. Здесь $N=50$, $K=10$, $n=5$. Величина $X$ распределена по гипергеометрическому закону.

Ответ: Гипергеометрический закон распределения.

8.26. Определите закон распределения дискретной СВ, заданной в упражнениях: 1) 8.13; 2) 8.14; 3) 8.20; 4) 8.21.

1) 8.13

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, обозначающая число стандартных деталей среди двух отобранных. Всего в партии 10 деталей, из которых 8 стандартных и 2 нестандартных. Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1 или 2. Найдем вероятности этих значений по классической формуле вероятности. Это задача на гипергеометрическое распределение.

Вероятность того, что $X=0$ (обе отобранные детали нестандартные). Число способов выбрать 2 нестандартные детали из 2 и 0 стандартных из 8:

$P(X=0) = \frac{C_2^2 \cdot C_8^0}{C_{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{45} = \frac{1}{45}$.

Вероятность того, что $X=1$ (одна деталь стандартная и одна нестандартная):

$P(X=1) = \frac{C_8^1 \cdot C_2^1}{C_{10}^2} = \frac{8 \cdot 2}{45} = \frac{16}{45}$.

Вероятность того, что $X=2$ (обе детали стандартные):

$P(X=2) = \frac{C_8^2 \cdot C_2^0}{C_{10}^2} = \frac{\frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 1}{45} = \frac{28}{45}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа стандартных деталей $X$ представлен в таблице:

2) 8.14

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу стандартных деталей среди трех отобранных. В партии 6 деталей, из них 4 стандартных и 2 нестандартных. Общее число способов выбрать 3 детали из 6:

$N = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Поскольку отбирается 3 детали, а нестандартных всего 2, то среди отобранных будет как минимум одна стандартная деталь. Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3.

Вероятность того, что $X=1$ (1 стандартная, 2 нестандартных):

$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_2^2}{C_6^3} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Вероятность того, что $X=2$ (2 стандартных, 1 нестандартная):

$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_2^1}{C_6^3} = \frac{6 \cdot 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Вероятность того, что $X=3$ (3 стандартных, 0 нестандартных):

$P(X=3) = \frac{C_4^3 \cdot C_2^0}{C_6^3} = \frac{4 \cdot 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Проверка: $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа стандартных деталей $X$ представлен в таблице:

3) 8.20

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу попаданий по цели. Производится $n=3$ независимых выстрела. Вероятность попадания в каждом выстреле $p=0.4$, а вероятность промаха $q = 1 - p = 0.6$. Данная задача описывается биномиальным законом распределения.

Вероятность $k$ попаданий в $n$ выстрелах вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

$P(X=0) = C_3^0 (0.4)^0 (0.6)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216$.

$P(X=1) = C_3^1 (0.4)^1 (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432$.

$P(X=2) = C_3^2 (0.4)^2 (0.6)^1 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288$.

$P(X=3) = C_3^3 (0.4)^3 (0.6)^0 = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$.

Проверка: $0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1.000$.

Ответ: Закон распределения для числа попаданий $X$ представлен в таблице:

4) 8.21

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу выпавших «гербов». Монету бросают $n=5$ раз. Вероятность выпадения «герба» (успех) в каждом броске $p=0.5$, вероятность выпадения «решки» (неудача) $q = 1 - p = 0.5$. Это также задача на биномиальное распределение.

Используем формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Случайная величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

$P(X=0) = C_5^0 (0.5)^0 (0.5)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.

$P(X=1) = C_5^1 (0.5)^1 (0.5)^4 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.

$P(X=2) = C_5^2 (0.5)^2 (0.5)^3 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.

$P(X=3) = C_5^3 (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \cdot (0.5)^5 = \frac{10}{32}$.

$P(X=4) = C_5^4 (0.5)^4 (0.5)^1 = 5 \cdot (0.5)^5 = \frac{5}{32}$.

$P(X=5) = C_5^5 (0.5)^5 (0.5)^0 = 1 \cdot (0.5)^5 = \frac{1}{32}$.

Проверка: $\frac{1+5+10+10+5+1}{32} = \frac{32}{32} = 1$.

Ответ: Закон распределения для числа выпавших «гербов» $X$ представлен в таблице:

8.27. Дана дискретная СВ, заданная законом распределения:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hlineX & -2 & 0 & 2 & 4 \\\hlineP & 0,4 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \\\hline\end{array}$$

Может ли эта СВ быть распределенной геометрическим законом? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли данная случайная величина (СВ) быть распределена по геометрическому закону, необходимо вспомнить определение и основные свойства такого распределения. Геометрическое распределение описывает число испытаний Бернулли до наступления первого «успеха». Случайная величина $X$, имеющая геометрическое распределение, может принимать значения из множества натуральных чисел $\{1, 2, 3, \ldots\}$ (если $X$ — номер первого успешного испытания) или из множества целых неотрицательных чисел $\{0, 1, 2, \ldots\}$ (если $X$ — число «неудач» до первого «успеха»). Вероятности $P(X=k)$ вычисляются по формуле $p(1-p)^{k-1}$ или $p(1-p)^k$ соответственно, где $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.

Существует несколько причин, по которым данная СВ не может быть распределена по геометрическому закону.

1. Множество возможных значений. Самый важный аргумент заключается в том, что множество возможных значений данной СВ есть $\{-2, 0, 2, 4\}$. Это множество содержит отрицательное значение $-2$. По определению, случайная величина, распределенная по геометрическому закону, не может принимать отрицательных значений. Уже одного этого факта достаточно, чтобы дать отрицательный ответ на вопрос задачи.

2. Характер изменения вероятностей. Характерным свойством геометрического распределения является то, что его вероятности образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1-p$. Это означает, что отношение вероятности последующего значения к предыдущему должно быть постоянным. Проверим это для заданных вероятностей, рассматривая их в порядке возрастания значений $X$:
Отношение вероятности для $X=0$ к вероятности для $X=-2$: $\frac{P(X=0)}{P(X=-2)} = \frac{0,3}{0,4} = 0,75$.
Отношение вероятности для $X=2$ к вероятности для $X=0$: $\frac{P(X=2)}{P(X=0)} = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3} \approx 0,667$.
Отношение вероятности для $X=4$ к вероятности для $X=2$: $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$.
Поскольку $0,75 \neq \frac{2}{3} \neq 0,5$, отношения не являются постоянными, и, следовательно, последовательность вероятностей не является геометрической прогрессией. Это вторая причина, по которой распределение не может быть геометрическим.

3. Количество возможных значений. Данная СВ имеет конечное число возможных значений (четыре), так как сумма их вероятностей равна $0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1$. Геометрическое же распределение всегда определяется на бесконечном (счетном) множестве значений.

Таким образом, по любой из трех указанных причин можно сделать вывод, что данная случайная величина не подчиняется геометрическому закону.

Ответ: Нет, данная случайная величина не может быть распределена по геометрическому закону. Основная причина заключается в том, что множество ее возможных значений $\{-2, 0, 2, 4\}$ содержит отрицательное число, в то время как случайная величина, имеющая геометрическое распределение, по определению может принимать только целые неотрицательные значения.