Номер 8.27, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.27. Дана дискретная СВ, заданная законом распределения:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hlineX & -2 & 0 & 2 & 4 \\\hlineP & 0,4 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \\\hline\end{array}$$

Может ли эта СВ быть распределенной геометрическим законом? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы ответить на вопрос, может ли данная случайная величина (СВ) быть распределена по геометрическому закону, необходимо вспомнить определение и основные свойства такого распределения. Геометрическое распределение описывает число испытаний Бернулли до наступления первого «успеха». Случайная величина $X$, имеющая геометрическое распределение, может принимать значения из множества натуральных чисел $\{1, 2, 3, \ldots\}$ (если $X$ — номер первого успешного испытания) или из множества целых неотрицательных чисел $\{0, 1, 2, \ldots\}$ (если $X$ — число «неудач» до первого «успеха»). Вероятности $P(X=k)$ вычисляются по формуле $p(1-p)^{k-1}$ или $p(1-p)^k$ соответственно, где $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.

Существует несколько причин, по которым данная СВ не может быть распределена по геометрическому закону.

1. Множество возможных значений. Самый важный аргумент заключается в том, что множество возможных значений данной СВ есть $\{-2, 0, 2, 4\}$. Это множество содержит отрицательное значение $-2$. По определению, случайная величина, распределенная по геометрическому закону, не может принимать отрицательных значений. Уже одного этого факта достаточно, чтобы дать отрицательный ответ на вопрос задачи.

2. Характер изменения вероятностей. Характерным свойством геометрического распределения является то, что его вероятности образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1-p$. Это означает, что отношение вероятности последующего значения к предыдущему должно быть постоянным. Проверим это для заданных вероятностей, рассматривая их в порядке возрастания значений $X$:
Отношение вероятности для $X=0$ к вероятности для $X=-2$: $\frac{P(X=0)}{P(X=-2)} = \frac{0,3}{0,4} = 0,75$.
Отношение вероятности для $X=2$ к вероятности для $X=0$: $\frac{P(X=2)}{P(X=0)} = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3} \approx 0,667$.
Отношение вероятности для $X=4$ к вероятности для $X=2$: $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$.
Поскольку $0,75 \neq \frac{2}{3} \neq 0,5$, отношения не являются постоянными, и, следовательно, последовательность вероятностей не является геометрической прогрессией. Это вторая причина, по которой распределение не может быть геометрическим.

3. Количество возможных значений. Данная СВ имеет конечное число возможных значений (четыре), так как сумма их вероятностей равна $0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1$. Геометрическое же распределение всегда определяется на бесконечном (счетном) множестве значений.

Таким образом, по любой из трех указанных причин можно сделать вывод, что данная случайная величина не подчиняется геометрическому закону.

Ответ: Нет, данная случайная величина не может быть распределена по геометрическому закону. Основная причина заключается в том, что множество ее возможных значений $\{-2, 0, 2, 4\}$ содержит отрицательное число, в то время как случайная величина, имеющая геометрическое распределение, по определению может принимать только целые неотрицательные значения.