Номер 8.22, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.22. Сколькими способами можно:
а) распределить;
б) поделить поровну 6 учебников между двумя учениками?

Задача состоит из двух частей, которые отличаются постановкой вопроса: в первом случае ученики различимы, а во втором — нет.

а) В этом случае речь идет о распределении 6 различных учебников между двумя конкретными учениками. Поскольку учебники распределяются поровну, каждый ученик должен получить по 3 учебника. Важно, какой именно ученик получит какой набор учебников.

Нам нужно выбрать 3 учебника из 6 для первого ученика. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 6 элементов по 3. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения: $n=6$ (общее количество учебников) и $k=3$ (количество учебников для первого ученика).

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{36} = 20$.

Когда первый ученик получает свои 3 учебника, оставшиеся 3 учебника автоматически переходят ко второму ученику. Таким образом, количество способов выбрать книги для первого ученика и определяет общее количество способов распределения.

Например, если первый ученик получает набор книг {A, B, C}, а второй — {D, E, F}, это один способ. Если же первый ученик получает {D, E, F}, а второй — {A, B, C}, это уже другой, отдельный способ. Оба этих случая учтены в нашем расчете.

Ответ: 20.

б) В этом случае нужно поделить 6 учебников на две равные группы (стопки) по 3 учебника в каждой. В отличие от пункта а), здесь не имеет значения, кому какая группа достанется; мы просто формируем две неразличимые группы.

Мы можем использовать результат из пункта а). Там мы нашли, что существует 20 способов распределить учебники между двумя различимыми учениками.

Рассмотрим одно конкретное разделение учебников на две группы, например, {A, B, C} и {D, E, F}. В пункте а) мы считали за два разных способа:

1. Ученик 1 получает {A, B, C}, а Ученик 2 получает {D, E, F}.

2. Ученик 1 получает {D, E, F}, а Ученик 2 получает {A, B, C}.

Для задачи "поделить" эти два случая представляют собой одно и то же разделение на две группы. Это означает, что каждый уникальный способ разделения на две группы мы посчитали в пункте а) дважды (по числу перестановок этих двух групп).

Чтобы найти количество способов поделить учебники на две неразличимые группы, нужно результат из пункта а) разделить на 2 (или, что то же самое, на $2!$ — количество перестановок двух групп):

Количество способов поделить = $\frac{\text{Количество способов распределить}}{2!} = \frac{20}{2} = 10$.

Этот результат также можно получить по формуле числа разбиений множества на неупорядоченные подмножества одинакового размера. Мы выбираем 3 книги из 6 ($C_6^3$ способов), а затем делим на количество перестановок полученных групп ($2!$).

Ответ: 10.