Номер 8.17, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.17. При каком значении y для случайной величины X, распределенной по закону

X | 0 | y | 4 | 6

P | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4

, выполнено равенство:

a) $M(X) = 9,8;$

б) $D(X) = 5,16?$

Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

a) Найдем значение y, при котором математическое ожидание M(X) = 9,8.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 0 \cdot 0,2 + y \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,3 + 6 \cdot 0,4$

$M(X) = 0 + 0,1y + 1,2 + 2,4$

$M(X) = 0,1y + 3,6$

По условию M(X) = 9,8. Составим и решим уравнение:

$0,1y + 3,6 = 9,8$

$0,1y = 9,8 - 3,6$

$0,1y = 6,2$

$y = \frac{6,2}{0,1} = 62$

Ответ: 62.

б) Найдем значение y, при котором дисперсия D(X) = 5,16.

Дисперсия вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание M(X) в зависимости от y (как в пункте а):

$M(X) = 0,1y + 3,6$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, M(X²). Для этого составим закон распределения для X²:

Значения X²: $0^2=0$, $y^2$, $4^2=16$, $6^2=36$.

Вероятности P: 0,2, 0,1, 0,3, 0,4.

Вычислим M(X²):

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0,2 + y^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,3 + 6^2 \cdot 0,4$

$M(X^2) = 0 + 0,1y^2 + 16 \cdot 0,3 + 36 \cdot 0,4$

$M(X^2) = 0,1y^2 + 4,8 + 14,4$

$M(X^2) = 0,1y^2 + 19,2$

Подставим выражения для M(X) и M(X²) в формулу для дисперсии:

$D(X) = (0,1y^2 + 19,2) - (0,1y + 3,6)^2$

Раскроем скобки:

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - ( (0,1y)^2 + 2 \cdot 0,1y \cdot 3,6 + 3,6^2 )$

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - (0,01y^2 + 0,72y + 12,96)$

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - 0,01y^2 - 0,72y - 12,96$

$D(X) = 0,09y^2 - 0,72y + 6,24$

По условию D(X) = 5,16. Составим и решим уравнение:

$0,09y^2 - 0,72y + 6,24 = 5,16$

$0,09y^2 - 0,72y + 6,24 - 5,16 = 0$

$0,09y^2 - 0,72y + 1,08 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от дробей:

$9y^2 - 72y + 108 = 0$

Разделим все уравнение на 9:

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 12. Корни: y₁=2 и y₂=6.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$

$y_1 = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_2 = \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба значения являются решениями.

Ответ: 2; 6.