Номер 8.11, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.11. Найдите математическое ожидание случайной величины в упражнении 8.9.

Для нахождения математического ожидания случайной величины необходимо сначала составить её закон распределения (что является задачей упражнения 8.9), а затем воспользоваться формулой математического ожидания для дискретной случайной величины: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

а) Случайная величина X — число очков, выпавших при бросании игрального кубика.

Возможные значения случайной величины X: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку кубик правильный, все исходы равновероятны. Вероятность каждого исхода равна $p = \frac{1}{6}$.

Закон распределения X:

$P(X=1) = \frac{1}{6}$; $P(X=2) = \frac{1}{6}$; $P(X=3) = \frac{1}{6}$; $P(X=4) = \frac{1}{6}$; $P(X=5) = \frac{1}{6}$; $P(X=6) = \frac{1}{6}$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$.

Ответ: 3,5

б) Случайная величина X — число мальчиков в семьях с двумя детьми (считая, что рождение мальчика и девочки — равновероятные события).

Возможные исходы для двух детей (М - мальчик, Д - девочка): ДД, ДМ, МД, ММ. Всего 4 равновероятных исхода. Вероятность каждого - $\frac{1}{4}$.

Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2.

Закон распределения X:

$P(X=0)$ (нет мальчиков, исход ДД) = $\frac{1}{4}$.

$P(X=1)$ (один мальчик, исходы ДМ, МД) = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$P(X=2)$ (два мальчика, исход ММ) = $\frac{1}{4}$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Также можно заметить, что это биномиальное распределение с параметрами $n=2$ (число испытаний) и $p=0.5$ (вероятность "успеха" - рождения мальчика). Математическое ожидание для биномиального распределения вычисляется по формуле $M(X) = np = 2 \cdot 0.5 = 1$.

Ответ: 1

в) Случайная величина Y — сумма очков, выпавших при бросании двух игральных кубиков.

Пусть $X_1$ — число очков, выпавшее на первом кубике, а $X_2$ — число очков на втором кубике. Тогда случайная величина $Y = X_1 + X_2$.

Можно использовать свойство математического ожидания: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть $M(Y) = M(X_1 + X_2) = M(X_1) + M(X_2)$.

Из пункта а) мы знаем, что математическое ожидание числа очков для одного кубика равно 3,5. Следовательно, $M(X_1) = 3.5$ и $M(X_2) = 3.5$.

Тогда математическое ожидание суммы очков на двух кубиках:

$M(Y) = 3.5 + 3.5 = 7$.

Ответ: 7

г) Случайная величина Z — число попаданий в мишень при двух выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Данная ситуация описывается биномиальным распределением, так как производится серия независимых испытаний (выстрелов), в каждом из которых событие (попадание) наступает с одинаковой вероятностью.

Параметры биномиального распределения:

Число испытаний (выстрелов) $n = 2$.

Вероятность "успеха" (попадания) в одном испытании $p = 0.8$.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $M(Z) = np$.

$M(Z) = 2 \cdot 0.8 = 1.6$.

Для проверки можно найти закон распределения и вычислить по определению:

Вероятность промаха $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

$P(Z=0)$ (0 попаданий) = $q^2 = 0.2^2 = 0.04$.

$P(Z=1)$ (1 попадание) = $C_2^1 p^1 q^1 = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 0.32$.

$P(Z=2)$ (2 попадания) = $p^2 = 0.8^2 = 0.64$.

$M(Z) = 0 \cdot 0.04 + 1 \cdot 0.32 + 2 \cdot 0.64 = 0 + 0.32 + 1.28 = 1.6$.

Результаты совпадают.

Ответ: 1,6