Номер 8.16, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.16. Найдите q, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по закону:

a) $ \begin{array}{c|c|c|c|c} X & -2 & -3 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.1 & q & 0.4 & 0.2 \end{array} $;

б) $ \begin{array}{c|c|c|c|c} X & 1 & 2 & 5 & 7 \\ \hline P & q & 0.2 & 0.3 & 0.3 \end{array} $.

а)

1. Найдем q.
Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины равна 1.$ \sum p_i = 1 $
$ 0,1 + q + 0,4 + 0,2 = 1 $
$ 0,7 + q = 1 $
$ q = 1 - 0,7 = 0,3 $
Таким образом, закон распределения имеет вид:

2. Найдем математическое ожидание M(X).
Математическое ожидание вычисляется по формуле:$ M(X) = \sum x_i p_i $
$ M(X) = (-2) \cdot 0,1 + (-3) \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 = -0,2 - 0,9 + 0,4 + 0,4 = -0,3 $

3. Найдем дисперсию D(X).
Дисперсия вычисляется по формуле:$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $
Сначала найдем $M(X^2)$:$ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i $
$ M(X^2) = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-3)^2 \cdot 0,3 + 1^2 \cdot 0,4 + 2^2 \cdot 0,2 $
$ M(X^2) = 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,2 = 0,4 + 2,7 + 0,4 + 0,8 = 4,3 $
Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = 4,3 - (-0,3)^2 = 4,3 - 0,09 = 4,21 $

4. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $
$ \sigma(X) = \sqrt{4,21} \approx 2,052 $

Ответ: $ q = 0,3 $; $ M(X) = -0,3 $; $ D(X) = 4,21 $; $ \sigma(X) \approx 2,052 $.

б)

1. Найдем q.
Сумма всех вероятностей равна 1:$ \sum p_i = 1 $
$ q + 0,2 + 0,3 + 0,3 = 1 $
$ q + 0,8 = 1 $
$ q = 1 - 0,8 = 0,2 $
Таким образом, закон распределения имеет вид:

2. Найдем математическое ожидание M(X).
$ M(X) = \sum x_i p_i $
$ M(X) = 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,3 = 0,2 + 0,4 + 1,5 + 2,1 = 4,2 $

3. Найдем дисперсию D(X).
$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $
Сначала найдем $M(X^2)$:$ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i $
$ M(X^2) = 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,3 $
$ M(X^2) = 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,3 = 0,2 + 0,8 + 7,5 + 14,7 = 23,2 $
Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = 23,2 - (4,2)^2 = 23,2 - 17,64 = 5,56 $

4. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).
$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $
$ \sigma(X) = \sqrt{5,56} \approx 2,358 $

Ответ: $ q = 0,2 $; $ M(X) = 4,2 $; $ D(X) = 5,56 $; $ \sigma(X) \approx 2,358 $.