Номер 8.19, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.19. Случайную величину $X$, распределенную по закону

$X$ | 1 | 2 | ... | $n$ | ...

$P$ | $p_1$ | $p_2$ | ... | $p_n$ | ...

, называют распределенной по геометрическому закону, если $P_n = q^{n-1} \cdot p$, $q = 1 - p$, $0 < p < 1$. Найдите $M(X)$.

Для нахождения математического ожидания $M(X)$ дискретной случайной величины $X$, распределенной по геометрическому закону, необходимо воспользоваться определением математического ожидания. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n p_n$

В данном случае значения случайной величины $x_n = n$ (где $n = 1, 2, 3, \ldots$), а соответствующие им вероятности заданы формулой геометрического распределения:$p_n = P(X=n) = q^{n-1}p$где $q = 1-p$ и $0 < p < 1$. Отсюда следует, что $0 < q < 1$.

Подставим эти значения в формулу математического ожидания:$M(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot (q^{n-1}p)$

Вынесем константу $p$ за знак суммы:$M(X) = p \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$

Получившийся ряд $S = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$ является сходящимся степенным рядом. Его можно записать в развернутом виде:$S = 1 \cdot q^0 + 2 \cdot q^1 + 3 \cdot q^2 + \ldots = 1 + 2q + 3q^2 + \ldots$

Для нахождения суммы этого ряда рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots = \frac{1}{1-q}$Эта формула верна для $|q| < 1$, что выполняется в нашем случае.

Продифференцируем обе части этого равенства по $q$:$\frac{d}{dq} \left( \sum_{n=0}^{\infty} q^n \right) = \frac{d}{dq} \left( \frac{1}{1-q} \right)$

Дифференцируя левую часть почленно, получаем:$\frac{d}{dq} \left( \sum_{n=0}^{\infty} q^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$Это как раз тот ряд, сумму которого мы ищем.

Дифференцируя правую часть, получаем:$\frac{d}{dq} \left( (1-q)^{-1} \right) = -1 \cdot (1-q)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1-q)^2}$

Таким образом, мы нашли сумму ряда $S$:$S = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$

Теперь подставим найденное значение суммы в выражение для $M(X)$:$M(X) = p \cdot S = p \cdot \frac{1}{(1-q)^2}$

Используя соотношение $q = 1-p$, получаем $p = 1-q$. Подставим это в знаменатель:$M(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$

Ответ: $M(X) = \frac{1}{p}$