Номер 8.13, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.13. Стрелок при одном выстреле может поразить мишень с вероятностью, равной 0,6. Имея при себе 5 патронов, он стреляет по мишени до первого попадания или до полного расходования патронов. Случайная величина равна числу израсходованных патронов. Найдите:

а) закон распределения $X$;

б) $M(X)$;

в) $D(X)$;

г) $\sigma(X)$.

а) закон распределения X
Пусть $X$ - случайная величина, равная числу израсходованных патронов. Возможные значения $X$: 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность попадания при одном выстреле (успех) равна $p = 0.6$. Вероятность промаха (неудача) равна $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$. Стрельба ведется до первого попадания или до полного расходования 5 патронов. Найдем вероятности $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$.
$X=1$: Попадание с первого выстрела. $P(X=1) = p = 0.6$.
$X=2$: Первый выстрел - промах, второй - попадание. $P(X=2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$.
$X=3$: Первые два выстрела - промахи, третий - попадание. $P(X=3) = q^2 \cdot p = 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$.
$X=4$: Первые три выстрела - промахи, четвертый - попадание. $P(X=4) = q^3 \cdot p = 0.4^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384$.
$X=5$: Это событие происходит, если первые четыре выстрела были промахами. Стрелок делает пятый выстрел и останавливается, так как патроны закончились. Результат пятого выстрела не влияет на количество израсходованных патронов. $P(X=5) = q^4 = 0.4^4 = 0.0256$.
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $0.6 + 0.24 + 0.096 + 0.0384 + 0.0256 = 1$.
Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ задается следующими вероятностями:
Ответ: $P(X=1)=0.6$; $P(X=2)=0.24$; $P(X=3)=0.096$; $P(X=4)=0.0384$; $P(X=5)=0.0256$.

б) M(X)
Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$.
$M(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5)$
$M(X) = 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.24 + 3 \cdot 0.096 + 4 \cdot 0.0384 + 5 \cdot 0.0256$
$M(X) = 0.6 + 0.48 + 0.288 + 0.1536 + 0.128$
$M(X) = 1.6496$
Ответ: $M(X) = 1.6496$.

в) D(X)
Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M(X^2) = 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.24 + 3^2 \cdot 0.096 + 4^2 \cdot 0.0384 + 5^2 \cdot 0.0256$
$M(X^2) = 1 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.24 + 9 \cdot 0.096 + 16 \cdot 0.0384 + 25 \cdot 0.0256$
$M(X^2) = 0.6 + 0.96 + 0.864 + 0.6144 + 0.64$
$M(X^2) = 3.6784$
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 3.6784 - (1.6496)^2 = 3.6784 - 2.72118016 = 0.95721984$
Ответ: $D(X) = 0.95721984$.

г) σ(X)
Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.
$\sigma(X) = \sqrt{0.95721984} \approx 0.978376113$
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем:
$\sigma(X) \approx 0.9784$
Ответ: $\sigma(X) \approx 0.9784$.