Номер 8.12, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.12. Найдите дисперсию случайной величины в упражнении 8.10.

8.10. С

Для нахождения дисперсии случайной величины из упражнения 8.10 необходимо знать ее закон распределения. Поскольку он не приведен в условии, решим задачу для гипотетического примера дискретной случайной величины, который мог быть представлен в упражнении 8.10.

Предположим, что в упражнении 8.10 была задана дискретная случайная величина $X$ со следующим законом распределения:

Возможные значения $x_i$: 1, 2, 3, 4

Соответствующие вероятности $p_i$: 0.1, 0.2, 0.4, 0.3

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.3 = 1$.

Дисперсия случайной величины $X$, обозначаемая как $D(X)$, вычисляется по формуле:

$D(X) = M[X^2] - (M[X])^2$

где $M[X]$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M[X^2]$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X$.

Шаг 1: Вычисление математического ожидания $M[X]$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

$M[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Для нашего примера:

$M[X] = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.3 = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 1.2 = 2.9$

Шаг 2: Вычисление математического ожидания квадрата случайной величины $M[X^2]$

Сначала найдем закон распределения для случайной величины $Y = X^2$. Ее возможные значения — это квадраты значений $X$, а вероятности этих значений остаются прежними:

Возможные значения $x_i^2$: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$

Соответствующие вероятности $p_i$: 0.1, 0.2, 0.4, 0.3

Теперь вычислим $M[X^2]$ по формуле математического ожидания, но с использованием значений $x_i^2$:

$M[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M[X^2] = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.2 + 3^2 \cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.3 = 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3 = 0.1 + 0.8 + 3.6 + 4.8 = 9.3$

Шаг 3: Вычисление дисперсии $D(X)$

Теперь, имея значения $M[X]$ и $M[X^2]$, мы можем вычислить дисперсию, подставив их в основную формулу:

$D(X) = M[X^2] - (M[X])^2 = 9.3 - (2.9)^2$

Так как $(2.9)^2 = 8.41$, получаем:

$D(X) = 9.3 - 8.41 = 0.89$

Ответ: 0.89.