Номер 8.6, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.6. Найдите среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по закону

X | 3 | 5 | 7 | 9

P | 0,4 | 0,4 | 0,2 | 0,1.

Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины необходимо последовательно вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и затем извлечь квадратный корень из дисперсии.

Задан следующий закон распределения случайной величины X:

$X_i$: 3, 5, 7, 9
$P_i$: 0,4, 0,4, 0,2, 0,1

1. Проверка корректности закона распределения.
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна единице. Проверим это условие:$ \sum P_i = 0,4 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1,1 $Сумма вероятностей не равна 1, что указывает на опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является опечатка в одном из значений вероятности. Предположим, что второе значение вероятности $P_2$ должно быть 0,3, а не 0,4. В этом случае сумма вероятностей станет равной 1, а численные характеристики (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение) примут целочисленные значения, что часто характерно для учебных задач.$0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1$Будем решать задачу для скорректированного закона распределения:

$X_i$: 3, 5, 7, 9
$P_i$: 0,4, 0,3, 0,2, 0,1

2. Нахождение математического ожидания (среднего значения) $M(X)$.
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.$ M(X) = 3 \cdot 0,4 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,1 = 1,2 + 1,5 + 1,4 + 0,9 = 5 $

3. Нахождение дисперсии $D(X)$.
Дисперсию можно найти по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$.$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$$ M(X^2) = 3^2 \cdot 0,4 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,1 $$ M(X^2) = 9 \cdot 0,4 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,2 + 81 \cdot 0,1 $$ M(X^2) = 3,6 + 7,5 + 9,8 + 8,1 = 29 $Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 29 - 5^2 = 29 - 25 = 4 $

4. Нахождение среднего квадратического отклонения $\sigma(X)$.
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4} = 2 $

Ответ: 2.