Номер 8.3, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.3. Найдите математическое ожидание случайной величины, за-данной в задаче 8.1.

Для нахождения математического ожидания случайной величины, указанной в задаче 8.3, необходимо знать ее закон распределения, который, по-видимому, был определен в условии задачи 8.1. Поскольку текст задачи 8.1 отсутствует, мы решим задачу для одного из типичных примеров.

Предположим, что условие задачи 8.1 было следующим: «В урне находится 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Из урны наугад извлекают 2 шара. Случайная величина X — это количество белых шаров среди извлеченных. Требуется составить закон распределения для X».

Сначала найдем закон распределения случайной величины X. Данная случайная величина распределена по гипергеометрическому закону. Возможные значения, которые может принимать X (количество извлеченных белых шаров), — это 0, 1 и 2.

Общее число элементарных исходов — это количество способов выбрать 2 шара из 10. Оно равно числу сочетаний:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого возможного значения X.

Вероятность того, что не будет извлечено ни одного белого шара (X=0), а значит, будут извлечены 2 черных шара:

$P(X=0) = \frac{C_3^0 \times C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{1 \times \frac{7!}{2!5!}}{45} = \frac{1 \times 21}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что будет извлечен 1 белый шар и 1 черный шар (X=1):

$P(X=1) = \frac{C_3^1 \times C_7^1}{C_{10}^2} = \frac{3 \times 7}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что будут извлечены 2 белых шара (X=2):

$P(X=2) = \frac{C_3^2 \times C_7^0}{C_{10}^2} = \frac{3 \times 1}{45} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

$x_1=0$ с вероятностью $p_1 = \frac{7}{15}$
$x_2=1$ с вероятностью $p_2 = \frac{7}{15}$
$x_3=2$ с вероятностью $p_3 = \frac{1}{15}$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{7}{15} + \frac{7}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Теперь, имея закон распределения, найдем математическое ожидание $M(X)$ (или $E(X)$), как того требует задача 8.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим наши значения:

$M(X) = (0 \times \frac{7}{15}) + (1 \times \frac{7}{15}) + (2 \times \frac{1}{15}) = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15}$.

Сократив дробь, получаем окончательный результат:

$M(X) = \frac{3}{5} = 0.6$.

Стоит отметить, что для гипергеометрического распределения математическое ожидание можно также вычислить по формуле $M(X) = k \frac{K}{N_{total}}$, где $k$ — размер выборки (2), $K$ — количество «успешных» элементов в совокупности (3 белых шара), а $N_{total}$ — общий размер совокупности (10 шаров). Расчет по этой формуле дает тот же результат: $M(X) = 2 \times \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: $0.6$