Номер 8.4, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.4. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной в задаче 8.2.

Для нахождения дисперсии и среднего квадратического отклонения необходимо использовать данные из задачи 8.2. В задаче 8.2 рассматривалась случайная величина $X$ — число отказов трех независимо работающих элементов, где вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Данная случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами $n=3$ (число элементов) и $p=0.1$ (вероятность отказа).

Дисперсия

Дисперсию $D(X)$ для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, можно найти по формуле:

$D(X) = npq$

где $n=3$ — число независимых испытаний (элементов), $p=0.1$ — вероятность «успеха» (отказа), а $q=1-p=1-0.1=0.9$ — вероятность «неудачи» (безотказной работы).

Подставим значения в формулу:

$D(X) = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.27$

Для проверки можно рассчитать дисперсию по основной формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание: $M(X) = np = 3 \cdot 0.1 = 0.3$.
Затем найдем $M(X^2)$, предварительно составив закон распределения $X$ по формуле Бернулли $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$:
$P(X=0) = C_3^0 (0.1)^0 (0.9)^3 = 0.729$
$P(X=1) = C_3^1 (0.1)^1 (0.9)^2 = 0.243$
$P(X=2) = C_3^2 (0.1)^2 (0.9)^1 = 0.027$
$P(X=3) = C_3^3 (0.1)^3 (0.9)^0 = 0.001$
Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0.729 + 1^2 \cdot 0.243 + 2^2 \cdot 0.027 + 3^2 \cdot 0.001 = 0 + 0.243 + 0.108 + 0.009 = 0.36$.
Вычисляем дисперсию: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0.36 - (0.3)^2 = 0.36 - 0.09 = 0.27$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: дисперсия равна 0.27.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ (или $\sigma_X$) является положительным квадратным корнем из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Используя найденное ранее значение дисперсии $D(X)=0.27$, получаем:

$\sigma(X) = \sqrt{0.27} = \sqrt{\frac{27}{100}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{10} = \frac{3\sqrt{3}}{10}$

В виде десятичной дроби (приближенно): $\sigma(X) \approx 0.5196$.

Ответ: среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{0.27} \approx 0.5196$.