Вопросы, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое случайная величина? Приведите пример.

2. Какие случайные величины называются дискретными?

3. Что такое закон распределения дискретной случайной величины? Как он составляется?

4. Какому условию должны удовлетворять вероятности в законе распределения? Почему?

5. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Каков его смысл?

6. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? Каков их смысл?

1. Что такое случайная величина? Приведите пример.

Случайная величина — это переменная, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из множества своих возможных значений, причём заранее неизвестно, какое именно. Иными словами, это численное выражение исхода случайного события.

Например, рассмотрим эксперимент по подбрасыванию игрального кубика. Результат эксперимента — выпавшее число очков — является случайным. Если мы обозначим это число через $X$, то $X$ будет случайной величиной. Возможные значения, которые может принять $X$, это $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Другой пример: количество студентов, опоздавших на лекцию. Это тоже случайная величина, так как её значение заранее неизвестно и может меняться ото дня ко дню.

Ответ: Случайная величина – это переменная, значение которой определяется исходом случайного эксперимента. Пример: число очков, выпавшее при броске игральной кости.

2. Какие случайные величины называются дискретными?

Дискретными (или прерывными) называются случайные величины, которые принимают отдельные, изолированные друг от друга значения. Этих значений может быть либо конечное число, либо бесконечное, но счётное (то есть их можно перенумеровать: первое, второе, третье и т.д.). Между двумя соседними возможными значениями дискретной случайной величины не существует других возможных значений.

Примеры дискретных случайных величин:

• Число гербов при трёхкратном подбрасывании монеты (возможные значения: 0, 1, 2, 3).
• Число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения: 1, 2, 3, ... — счётное множество).
• Количество бракованных изделий в партии из 100 штук (возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100).

Ответ: Дискретными называют случайные величины, множество возможных значений которых конечно или счётно. Их значения можно пересчитать.

3. Что такое закон распределения дискретной случайной величины? Как он составляется?

Закон распределения дискретной случайной величины — это любое правило (таблица, формула или график), которое устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Чтобы составить закон распределения, необходимо:
1. Определить все возможные значения, которые может принимать случайная величина $X$. Обозначим их как $x_1, x_2, \dots, x_n$.
2. Найти вероятности $p_i$, с которыми случайная величина принимает каждое из этих значений: $p_i = P(X=x_i)$.
3. Представить это соответствие. Наиболее распространённый способ — таблица, которая называется рядом распределения. В первой строке указываются все возможные значения $x_i$, а во второй — соответствующие им вероятности $p_i$.
Например, для случайной величины $X$ — числа очков при броске кубика — закон распределения выглядит так:
Значения $X$: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Вероятности $P$: 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6

Ответ: Закон распределения дискретной случайной величины — это соответствие между её возможными значениями и их вероятностями. Он составляется путем нахождения всех возможных значений и вычисления вероятности для каждого из них.

4. Какому условию должны удовлетворять вероятности в законе распределения? Почему?

Вероятности $p_i$, входящие в закон распределения дискретной случайной величины, должны удовлетворять условию нормировки: их сумма должна быть равна единице.
Математически это записывается так: $\sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

Это условие обязательно, потому что события $X=x_1, X=x_2, \dots, X=x_n$ образуют полную группу несовместных событий. Это означает, что в результате эксперимента случайная величина $X$ обязательно примет одно и только одно из этих значений. Появление одного из этих значений является достоверным событием, а вероятность достоверного события всегда равна 1. Так как события несовместны, вероятность их объединения (то есть того, что наступит хотя бы одно из них) равна сумме их вероятностей.

Ответ: Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна 1. Это следует из того, что в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из своих возможных значений, что является достоверным событием.

5. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Каков его смысл?

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины $X$ называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначается как $M(X)$ или $E(X)$.
Формула для вычисления: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$.

Смысл математического ожидания заключается в том, что оно представляет собой среднее значение, которое мы ожидаем получить для случайной величины при многократном повторении эксперимента. Это "центр тяжести" распределения, вокруг которого группируются значения случайной величины. Например, если математическое ожидание выигрыша в лотерею равно -10 рублям, это означает, что в среднем при большом количестве игр игрок будет терять 10 рублей за каждую игру.

Ответ: Математическое ожидание — это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Его смысл — это среднее ожидаемое значение случайной величины при многократном повторении опыта.

6. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? Каков их смысл?

Дисперсия случайной величины $X$, обозначаемая $D(X)$ или $Var(X)$, — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Она показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг её среднего значения.
Формула для вычисления: $D(X) = M[(X - M(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$.
Смысл дисперсии: это мера рассеяния или разброса значений. Чем больше дисперсия, тем дальше в среднем значения случайной величины отстоят от математического ожидания. Недостаток дисперсии в том, что её размерность — это квадрат размерности исходной величины (например, метры в квадрате, если $X$ измерялось в метрах), что затрудняет интерпретацию.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины $X$, обозначаемое $\sigma(X)$ или $SD(X)$, — это квадратный корень из дисперсии.
Формула: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.
Смысл СКО: как и дисперсия, СКО является мерой разброса значений. Однако его преимущество в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина. Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от её математического ожидания. Это более наглядная и часто используемая характеристика рассеяния.

Ответ: Дисперсия — это средний квадрат отклонения значений от математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение — это корень из дисперсии. Обе величины характеризуют степень разброса (рассеяния) значений случайной величины вокруг её среднего значения.