Номер 7.139, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.139.

1) $y = x|x| + 1;$

2) $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}(x^2 - 4).$

1) $y = x|x| + 1$

Для построения графика этой функции, раскроем модуль $|x|$. Модуль числа $x$ равен $x$, если $x \ge 0$, и равен $-x$, если $x < 0$. Таким образом, мы рассматриваем два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x \cdot x + 1 = x^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$. Мы строим эту параболу только для неотрицательных значений $x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x \cdot (-x) + 1 = -x^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в той же точке $(0, 1)$. Мы строим эту параболу только для отрицательных значений $x$.

Объединяя эти два случая, получаем график функции, состоящий из двух ветвей парабол, сходящихся в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = x|x| + 1$ представляет собой правую ветвь параболы $y = x^2 + 1$ для $x \ge 0$ и левую ветвь параболы $y = -x^2 + 1$ для $x < 0$. Обе части графика соединяются в точке $(0, 1)$.

2) $y = \frac{|x-1|}{x-1}(x^2 - 4)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Далее рассмотрим выражение $\frac{|x-1|}{x-1}$. Это выражение равно $1$ при $x-1 > 0$ (то есть $x > 1$) и равно $-1$ при $x-1 < 0$ (то есть $x < 1$).

1. Если $x > 1$, функция принимает вид:
$y = 1 \cdot (x^2 - 4) = x^2 - 4$.
Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -4)$. Мы строим эту параболу только для $x > 1$. В точке $x=1$ функция не определена. Найдем предел справа: $\lim_{x\to1^+} (x^2 - 4) = 1^2 - 4 = -3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(1, -3)$.

2. Если $x < 1$, функция принимает вид:
$y = -1 \cdot (x^2 - 4) = -x^2 + 4$.
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4)$. Мы строим эту параболу только для $x < 1$. В точке $x=1$ функция не определена. Найдем предел слева: $\lim_{x\to1^-} (-x^2 + 4) = -1^2 + 4 = 3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(1, 3)$.

График состоит из двух частей парабол, с разрывом в точке $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 1$ это часть параболы $y = x^2 - 4$, начинающаяся от выколотой точки $(1, -3)$; для $x < 1$ это часть параболы $y = -x^2 + 4$, заканчивающаяся в выколотой точке $(1, 3)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.