Номер 7.138, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.138. 1) $y = x \sin x;$

2) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x;$

3) $|y| = \cos x.$

1) Чтобы определить четность функции $y = f(x) = x \sin x$, необходимо проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции). Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x) \sin(-x)$

Используем свойства тригонометрических функций: синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

Подставим это в наше выражение:

$f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x$

В результате мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.

Ответ: четная функция.

2) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \text{tg } x \cdot \cos x$.

Область определения функции $D(f)$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых $\text{tg } x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число. Данная область определения симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \text{tg}(-x) \cdot \cos(-x)$

Используем свойства четности тригонометрических функций: тангенс — нечетная функция ($\text{tg}(-x) = -\text{tg } x$), а косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$).

Подставляем эти свойства в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-\text{tg } x) \cdot (\cos x) = -(\text{tg } x \cdot \cos x) = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Отметим, что на области определения функцию можно упростить: $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$. Функция $y = \sin x$ является нечетной, что подтверждает полученный результат.

Ответ: нечетная функция.

3) Уравнение $|y| = \cos x$ задает не функцию, а математическое отношение, поскольку одному значению $x$ (для которого $\cos x > 0$) соответствует два значения $y$ (а именно, $y = \cos x$ и $y = -\cos x$). В этом случае понятие четности связывают с симметрией графика данного отношения.

График считается четным, если он симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, y)$ также должна ему принадлежать.

Проверим это свойство. Пусть точка с координатами $(x, y)$ удовлетворяет нашему уравнению, то есть $|y| = \cos x$.

Теперь подставим в уравнение координаты точки $(-x, y)$: $|y| = \cos(-x)$.

Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos x$.

В результате мы получаем $|y| = \cos x$, что совпадает с исходным уравнением. Это доказывает, что если точка $(x,y)$ лежит на графике, то и точка $(-x,y)$ тоже на нем лежит.

Поскольку график отношения симметричен относительно оси OY, его можно охарактеризовать как четное.

Ответ: четная функция (отношение, график которого симметричен относительно оси ординат).