Номер 7.141, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.141. Покажите, что точки перегиба функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы найти точки перегиба графика функции, необходимо найти ее вторую производную, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни будут являться абсциссами точек перегиба, если при переходе через них вторая производная меняет свой знак.

Заданная функция: $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$.

1. Найдем первую производную функции:$y' = (3x^5 - 10x^3 + 3x)' = 15x^4 - 30x^2 + 3$.

2. Найдем вторую производную функции:$y'' = (15x^4 - 30x^2 + 3)' = 60x^3 - 60x$.

3. Найдем абсциссы точек перегиба, решив уравнение $y'' = 0$:$60x^3 - 60x = 0$
$60x(x^2 - 1) = 0$
$60x(x - 1)(x + 1) = 0$Корнями уравнения являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Поскольку все корни различны, вторая производная будет менять знак при переходе через каждую из этих точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.

4. Найдем ординаты (координаты y) этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$:
При $x_1 = -1$: $y_1 = 3(-1)^5 - 10(-1)^3 + 3(-1) = -3 - 10(-1) - 3 = -3 + 10 - 3 = 4$.
Координаты первой точки перегиба: $A(-1, 4)$.
При $x_2 = 0$: $y_2 = 3(0)^5 - 10(0)^3 + 3(0) = 0$.
Координаты второй точки перегиба: $B(0, 0)$.
При $x_3 = 1$: $y_3 = 3(1)^5 - 10(1)^3 + 3(1) = 3 - 10 + 3 = -4$.
Координаты третьей точки перегиба: $C(1, -4)$.

5. Теперь необходимо проверить, лежат ли точки $A(-1, 4)$, $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$ на одной прямой. Три точки лежат на одной прямой, если угловые коэффициенты прямых, проведенных через любые две пары этих точек, равны.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через точки A и B:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{0 - (-1)} = \frac{-4}{1} = -4$.

Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой, проходящей через точки B и C:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-4 - 0}{1 - 0} = \frac{-4}{1} = -4$.

Поскольку $k_{AB} = k_{BC} = -4$, все три точки перегиба лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой можно найти, используя точку $B(0,0)$ и угловой коэффициент $k=-4$:$y - 0 = -4(x - 0)$, что дает $y = -4x$.

Таким образом, мы показали, что все точки перегиба данной функции лежат на прямой $y=-4x$.

Ответ: Точки перегиба функции $A(-1, 4)$, $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$ лежат на одной прямой $y = -4x$, что и требовалось доказать.