Номер 7.142, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.142. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства:

1) $x^3 - 4x < 0;$

2) $\frac{x^2 + x}{x-3} < 0.$

1) Чтобы решить неравенство $x^3 - 4x < 0$, сначала разложим его левую часть на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) < 0$

Далее применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$x(x - 2)(x + 2) < 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$.

Таким образом, решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

Теперь найдем наибольшее целое отрицательное решение. Отрицательные решения находятся в интервале $(-\infty; -2)$. Целые числа в этом интервале: ..., -5, -4, -3. Наибольшим из них является -3.

Ответ: -3.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 + x}{x - 3} < 0$.

Разложим числитель на множители, вынеся $x$ за скобки:

$\frac{x(x + 1)}{x - 3} < 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x+1) = 0$, откуда $x=0$ и $x=-1$.

Нуль знаменателя: $x-3=0$, откуда $x=3$. Эта точка не входит в область определения функции.

Отметим точки -1, 0 и 3 на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=3$ обращает знаменатель в ноль.

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (знак «-»): $(-\infty; -1)$ и $(0; 3)$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 3)$.

Нам нужно найти наибольшее целое отрицательное решение. Оно находится в интервале $(-\infty; -1)$. Целые числа в этом интервале: ..., -4, -3, -2. Наибольшим из них является -2.

Ответ: -2.