Номер 7.143, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.143. Найдите корни уравнения:

1) $\sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x$;

2) $2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$.

1) Дано уравнение: $ \sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x $.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $.

Применим известные тригонометрические тождества:

Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Формула косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $. Из нее следует, что $ \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x $.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть уравнения:

$ (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x $.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно следующему:

$ -\cos 2x = \sin 2x $.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \sin 2x + \cos 2x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos 2x $. Мы можем это сделать, поскольку если бы $ \cos 2x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 2x = 0 $. Однако $ \sin(2x) $ и $ \cos(2x) $ не могут быть равны нулю одновременно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Следовательно, $ \cos 2x \neq 0 $.

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos 2x}{\cos 2x} = 0 $

$ \tan 2x + 1 = 0 $

$ \tan 2x = -1 $.

Находим общее решение для $ 2x $:

$ 2x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 2:

$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение: $ 2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin 2x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ и подставим ее в уравнение:

$ 2 \sin^2 x - \sqrt{3} (2 \sin x \cos x) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin x $ за скобки:

$ 2 \sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0 $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

Случай 1: $ 2 \sin x = 0 $.

$ \sin x = 0 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его корни:

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $ \cos x $. Это допустимо, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin x = 0 $, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \tan x = \sqrt{3} $.

Корни этого уравнения:

$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Объединяем решения из обоих случаев, чтобы получить полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $ x = \pi k; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.