Номер 7.140, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.140. Даны числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$. При каких значениях $x$ функция $f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \ldots + (x - a_n)^2$ принимает минимальное значение?

Заданная функция $f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x - a_n)^2$ представляет собой сумму квадратов. Мы можем найти значение $x$, при котором эта функция достигает минимума, используя методы дифференциального исчисления.

Для этого найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$. Запишем функцию в более компактном виде с использованием знака суммы: $f(x) = \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2$.

Производная суммы равна сумме производных, поэтому: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2 \right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} (x - a_i)^2$. Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем: $f'(x) = \sum_{i=1}^{n} 2(x - a_i) \cdot \frac{d}{dx}(x - a_i) = \sum_{i=1}^{n} 2(x - a_i) \cdot 1 = 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)$.

Чтобы найти точки экстремума (минимума или максимума), приравняем первую производную к нулю: $f'(x) = 0$ $2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) = 0$ Распишем сумму: $(x - a_1) + (x - a_2) + ... + (x - a_n) = 0$ $nx - (a_1 + a_2 + ... + a_n) = 0$ $nx = \sum_{i=1}^{n} a_i$ Отсюда находим единственную критическую точку: $x = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx} (f'(x)) = \frac{d}{dx} \left( 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) \right) = 2 \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} (x - a_i) = 2 \sum_{i=1}^{n} 1 = 2n$.

Поскольку количество чисел $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), вторая производная $f''(x) = 2n$ всегда положительна. Это означает, что найденная критическая точка является точкой минимума функции $f(x)$.

Таким образом, функция $f(x)$ принимает минимальное значение, когда $x$ равен среднему арифметическому чисел $a_1, a_2, ..., a_n$.

Ответ: Функция принимает минимальное значение при $x = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$.