Страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.9. Монета подбрасывается дважды. Напишите закон распределения случайной величины $X$, равной количеству выпадения гербовой стороны монеты.

Пусть случайная величина $X$ — это количество выпадений герба при двух подбрасываниях монеты. Обозначим выпадение герба буквой «Г», а выпадение решки — буквой «Р». Предполагается, что монета симметрична, то есть вероятность выпадения герба равна вероятности выпадения решки и составляет $1/2$.

При двух независимых подбрасываниях монеты возможны следующие элементарные исходы:

• ГГ — оба раза выпал герб.
• ГР — сначала выпал герб, затем решка.
• РГ — сначала выпала решка, затем герб.
• РР — оба раза выпала решка.

Всего существует $2^2 = 4$ равновероятных исхода. Вероятность каждого из них равна $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Случайная величина $X$ может принимать следующие значения:

1. $X=0$. Это значение достигается, когда герб не выпадает ни разу. Такое событие соответствует одному исходу: РР.
Вероятность этого события: $P(X=0) = P(РР) = \frac{1}{4}$.

2. $X=1$. Это значение достигается, когда герб выпадает ровно один раз. Такое событие соответствует двум исходам: ГР и РГ.
Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов: $P(X=1) = P(ГР) + P(РГ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. $X=2$. Это значение достигается, когда герб выпадает дважды. Такое событие соответствует одному исходу: ГГ.
Вероятность этого события: $P(X=2) = P(ГГ) = \frac{1}{4}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1+2+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Закон распределения случайной величины $X$ — это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Его можно представить в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения случайной величины $X$, равной количеству выпадения гербовой стороны монеты при двух подбрасываниях, имеет следующий вид:

8.10. Игральная кость бросается дважды. Напишите закон распределения случайной величины $X$, равной числу выпадения «шестерки».

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу выпадений «шестерки» при двух бросках игральной кости. Эта величина может принимать значения 0, 1 или 2.

Данный эксперимент можно рассматривать как серию из $n=2$ независимых испытаний (схема Бернулли). «Успехом» в каждом испытании будем считать выпадение «шестерки».

Вероятность «успеха» (выпадения «шестерки») при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.
Вероятность «неудачи» (выпадения любой другой грани) равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Вероятности $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$ (количества успехов) найдем по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

1. Вероятность того, что «шестерка» не выпадет ни разу ($X=0$):
$P(X=0) = C_2^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{2-0} = \frac{2!}{0!(2-0)!} \cdot 1 \cdot \frac{25}{36} = 1 \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{36}$.

2. Вероятность того, что «шестерка» выпадет ровно один раз ($X=1$):
$P(X=1) = C_2^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{2-1} = \frac{2!}{1!(2-1)!} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 2 \cdot \frac{5}{36} = \frac{10}{36}$.

3. Вероятность того, что «шестерка» выпадет дважды ($X=2$):
$P(X=2) = C_2^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{2-2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} \cdot \frac{1}{36} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{36}$.

Закон распределения случайной величины — это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Его принято представлять в виде таблицы.

Ответ:

8.11. Найдите математическое ожидание случайной величины в упражнении 8.9.

Для нахождения математического ожидания случайной величины необходимо сначала составить её закон распределения (что является задачей упражнения 8.9), а затем воспользоваться формулой математического ожидания для дискретной случайной величины: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

а) Случайная величина X — число очков, выпавших при бросании игрального кубика.

Возможные значения случайной величины X: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку кубик правильный, все исходы равновероятны. Вероятность каждого исхода равна $p = \frac{1}{6}$.

Закон распределения X:

$P(X=1) = \frac{1}{6}$; $P(X=2) = \frac{1}{6}$; $P(X=3) = \frac{1}{6}$; $P(X=4) = \frac{1}{6}$; $P(X=5) = \frac{1}{6}$; $P(X=6) = \frac{1}{6}$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$.

Ответ: 3,5

б) Случайная величина X — число мальчиков в семьях с двумя детьми (считая, что рождение мальчика и девочки — равновероятные события).

Возможные исходы для двух детей (М - мальчик, Д - девочка): ДД, ДМ, МД, ММ. Всего 4 равновероятных исхода. Вероятность каждого - $\frac{1}{4}$.

Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2.

Закон распределения X:

$P(X=0)$ (нет мальчиков, исход ДД) = $\frac{1}{4}$.

$P(X=1)$ (один мальчик, исходы ДМ, МД) = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$P(X=2)$ (два мальчика, исход ММ) = $\frac{1}{4}$.

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Также можно заметить, что это биномиальное распределение с параметрами $n=2$ (число испытаний) и $p=0.5$ (вероятность "успеха" - рождения мальчика). Математическое ожидание для биномиального распределения вычисляется по формуле $M(X) = np = 2 \cdot 0.5 = 1$.

Ответ: 1

в) Случайная величина Y — сумма очков, выпавших при бросании двух игральных кубиков.

Пусть $X_1$ — число очков, выпавшее на первом кубике, а $X_2$ — число очков на втором кубике. Тогда случайная величина $Y = X_1 + X_2$.

Можно использовать свойство математического ожидания: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то есть $M(Y) = M(X_1 + X_2) = M(X_1) + M(X_2)$.

Из пункта а) мы знаем, что математическое ожидание числа очков для одного кубика равно 3,5. Следовательно, $M(X_1) = 3.5$ и $M(X_2) = 3.5$.

Тогда математическое ожидание суммы очков на двух кубиках:

$M(Y) = 3.5 + 3.5 = 7$.

Ответ: 7

г) Случайная величина Z — число попаданий в мишень при двух выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Данная ситуация описывается биномиальным распределением, так как производится серия независимых испытаний (выстрелов), в каждом из которых событие (попадание) наступает с одинаковой вероятностью.

Параметры биномиального распределения:

Число испытаний (выстрелов) $n = 2$.

Вероятность "успеха" (попадания) в одном испытании $p = 0.8$.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $M(Z) = np$.

$M(Z) = 2 \cdot 0.8 = 1.6$.

Для проверки можно найти закон распределения и вычислить по определению:

Вероятность промаха $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

$P(Z=0)$ (0 попаданий) = $q^2 = 0.2^2 = 0.04$.

$P(Z=1)$ (1 попадание) = $C_2^1 p^1 q^1 = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 0.32$.

$P(Z=2)$ (2 попадания) = $p^2 = 0.8^2 = 0.64$.

$M(Z) = 0 \cdot 0.04 + 1 \cdot 0.32 + 2 \cdot 0.64 = 0 + 0.32 + 1.28 = 1.6$.

Результаты совпадают.

Ответ: 1,6

8.12. Найдите дисперсию случайной величины в упражнении 8.10.

8.10. С

Для нахождения дисперсии случайной величины из упражнения 8.10 необходимо знать ее закон распределения. Поскольку он не приведен в условии, решим задачу для гипотетического примера дискретной случайной величины, который мог быть представлен в упражнении 8.10.

Предположим, что в упражнении 8.10 была задана дискретная случайная величина $X$ со следующим законом распределения:

Возможные значения $x_i$: 1, 2, 3, 4

Соответствующие вероятности $p_i$: 0.1, 0.2, 0.4, 0.3

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.3 = 1$.

Дисперсия случайной величины $X$, обозначаемая как $D(X)$, вычисляется по формуле:

$D(X) = M[X^2] - (M[X])^2$

где $M[X]$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M[X^2]$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X$.

Шаг 1: Вычисление математического ожидания $M[X]$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

$M[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Для нашего примера:

$M[X] = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.3 = 0.1 + 0.4 + 1.2 + 1.2 = 2.9$

Шаг 2: Вычисление математического ожидания квадрата случайной величины $M[X^2]$

Сначала найдем закон распределения для случайной величины $Y = X^2$. Ее возможные значения — это квадраты значений $X$, а вероятности этих значений остаются прежними:

Возможные значения $x_i^2$: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$

Соответствующие вероятности $p_i$: 0.1, 0.2, 0.4, 0.3

Теперь вычислим $M[X^2]$ по формуле математического ожидания, но с использованием значений $x_i^2$:

$M[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M[X^2] = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.2 + 3^2 \cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.3 = 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.3 = 0.1 + 0.8 + 3.6 + 4.8 = 9.3$

Шаг 3: Вычисление дисперсии $D(X)$

Теперь, имея значения $M[X]$ и $M[X^2]$, мы можем вычислить дисперсию, подставив их в основную формулу:

$D(X) = M[X^2] - (M[X])^2 = 9.3 - (2.9)^2$

Так как $(2.9)^2 = 8.41$, получаем:

$D(X) = 9.3 - 8.41 = 0.89$

Ответ: 0.89.

8.13. Стрелок при одном выстреле может поразить мишень с вероятностью, равной 0,6. Имея при себе 5 патронов, он стреляет по мишени до первого попадания или до полного расходования патронов. Случайная величина равна числу израсходованных патронов. Найдите:

а) закон распределения $X$;

б) $M(X)$;

в) $D(X)$;

г) $\sigma(X)$.

а) закон распределения X
Пусть $X$ - случайная величина, равная числу израсходованных патронов. Возможные значения $X$: 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность попадания при одном выстреле (успех) равна $p = 0.6$. Вероятность промаха (неудача) равна $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$. Стрельба ведется до первого попадания или до полного расходования 5 патронов. Найдем вероятности $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$.
$X=1$: Попадание с первого выстрела. $P(X=1) = p = 0.6$.
$X=2$: Первый выстрел - промах, второй - попадание. $P(X=2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$.
$X=3$: Первые два выстрела - промахи, третий - попадание. $P(X=3) = q^2 \cdot p = 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$.
$X=4$: Первые три выстрела - промахи, четвертый - попадание. $P(X=4) = q^3 \cdot p = 0.4^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384$.
$X=5$: Это событие происходит, если первые четыре выстрела были промахами. Стрелок делает пятый выстрел и останавливается, так как патроны закончились. Результат пятого выстрела не влияет на количество израсходованных патронов. $P(X=5) = q^4 = 0.4^4 = 0.0256$.
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $0.6 + 0.24 + 0.096 + 0.0384 + 0.0256 = 1$.
Таким образом, закон распределения случайной величины $X$ задается следующими вероятностями:
Ответ: $P(X=1)=0.6$; $P(X=2)=0.24$; $P(X=3)=0.096$; $P(X=4)=0.0384$; $P(X=5)=0.0256$.

б) M(X)
Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$.
$M(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5)$
$M(X) = 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.24 + 3 \cdot 0.096 + 4 \cdot 0.0384 + 5 \cdot 0.0256$
$M(X) = 0.6 + 0.48 + 0.288 + 0.1536 + 0.128$
$M(X) = 1.6496$
Ответ: $M(X) = 1.6496$.

в) D(X)
Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M(X^2) = 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.24 + 3^2 \cdot 0.096 + 4^2 \cdot 0.0384 + 5^2 \cdot 0.0256$
$M(X^2) = 1 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.24 + 9 \cdot 0.096 + 16 \cdot 0.0384 + 25 \cdot 0.0256$
$M(X^2) = 0.6 + 0.96 + 0.864 + 0.6144 + 0.64$
$M(X^2) = 3.6784$
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 3.6784 - (1.6496)^2 = 3.6784 - 2.72118016 = 0.95721984$
Ответ: $D(X) = 0.95721984$.

г) σ(X)
Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.
$\sigma(X) = \sqrt{0.95721984} \approx 0.978376113$
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем:
$\sigma(X) \approx 0.9784$
Ответ: $\sigma(X) \approx 0.9784$.

8.14. Из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично». Из этих контрольных работ наудачу отобраны три работы. Случайная величина X равна числу оцененных на «отлично» работ среди отобранных. Напишите закон распределения X.

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу контрольных работ с оценкой «отлично» среди трех случайно отобранных.

В условии задачи дано, что всего имеется 25 контрольных работ. Из них 5 работ оценены на «отлично», следовательно, $25 - 5 = 20$ работ не имеют оценки «отлично». Наугад отбираются 3 работы.

Случайная величина $X$ может принимать следующие возможные значения: 0, 1, 2, 3. Чтобы найти закон распределения $X$, необходимо вычислить вероятности $P(X=k)$ для каждого из этих значений $k$.

Так как выборка производится без возвращения из конечной совокупности, мы имеем дело с гипергеометрическим распределением. Общее число способов выбрать 3 работы из 25 равно числу сочетаний из 25 по 3: $N = C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 2300$. Это общее число равновозможных элементарных исходов.

Число исходов, благоприятствующих событию $X=k$ (выбрано $k$ «отличных» работ и $3-k$ «не отличных»), равно $m_k = C_5^k \cdot C_{20}^{3-k}$. Вероятность этого события вычисляется по формуле $P(X=k) = \frac{m_k}{N}$.

Найдем вероятности для всех возможных значений $X$:
- Для $X=0$: необходимо выбрать 0 «отличных» работ из 5 и 3 «не отличных» из 20. $P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_{20}^3}{C_{25}^3} = \frac{1 \cdot \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{2300} = \frac{1 \cdot 1140}{2300} = \frac{1140}{2300} = \frac{57}{115}$.
- Для $X=1$: необходимо выбрать 1 «отличную» работу из 5 и 2 «не отличных» из 20. $P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_{20}^2}{C_{25}^3} = \frac{5 \cdot \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1}}{2300} = \frac{5 \cdot 190}{2300} = \frac{950}{2300} = \frac{19}{46}$.
- Для $X=2$: необходимо выбрать 2 «отличные» работы из 5 и 1 «не отличную» из 20. $P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_{20}^1}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 20}{2300} = \frac{10 \cdot 20}{2300} = \frac{200}{2300} = \frac{2}{23}$.
- Для $X=3$: необходимо выбрать 3 «отличные» работы из 5 и 0 «не отличных» из 20. $P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_{20}^0}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1}{2300} = \frac{10 \cdot 1}{2300} = \frac{10}{2300} = \frac{1}{230}$.

Проверим, что сумма полученных вероятностей равна 1: $\frac{1140}{2300} + \frac{950}{2300} + \frac{200}{2300} + \frac{10}{2300} = \frac{1140+950+200+10}{2300} = \frac{2300}{2300} = 1$.

Закон распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, сопоставляющую возможные значения случайной величины с их вероятностями.

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ задается следующей таблицей:

8.15. В условиях предыдущей задачи найдите дисперсию случайной величины $X$.

Поскольку задача 8.15 ссылается на условия предыдущей задачи, а они не предоставлены, мы решим ее на основе типичного примера, к которому такие задачи обычно относятся. Предположим, что в предыдущей задаче (8.14) речь шла о следующей ситуации (гипергеометрическое распределение):

Условие предыдущей задачи (предполагаемое): Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 4 стандартных, случайным образом отобраны 3 изделия. Случайная величина $X$ — число стандартных изделий среди отобранных.

В предыдущей задаче, скорее всего, требовалось найти закон распределения и математическое ожидание $X$. Мы восстановим эти шаги, чтобы найти дисперсию.

1. Нахождение закона распределения случайной величины $X$.

Случайная величина $X$ — число стандартных изделий в выборке. Возможные значения $X$: {0, 1, 2, 3}. Вероятности этих значений вычисляются по формуле гипергеометрического распределения:

$P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$

где $N=10$ — общий размер партии, $M=4$ — число стандартных изделий в партии, $n=3$ — размер выборки, $k$ — число стандартных изделий в выборке.

Общее число способов выбрать 3 изделия из 10: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

Вычислим вероятности для каждого значения $k$:

• $P(X=0) = \frac{C_4^0 C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{1 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{120} = \frac{20}{120}$
• $P(X=1) = \frac{C_4^1 C_6^2}{C_{10}^3} = \frac{4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{120} = \frac{4 \cdot 15}{120} = \frac{60}{120}$
• $P(X=2) = \frac{C_4^2 C_6^1}{C_{10}^3} = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 6}{120} = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120}$
• $P(X=3) = \frac{C_4^3 C_6^0}{C_{10}^3} = \frac{4 \cdot 1}{120} = \frac{4}{120}$

Проверка: $\frac{20}{120} + \frac{60}{120} + \frac{36}{120} + \frac{4}{120} = \frac{120}{120} = 1$.

Закон распределения $X$:

2. Нахождение дисперсии $D(X)$.

Дисперсия вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = \sum x_i p_i = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 2 \cdot \frac{36}{120} + 3 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 72 + 12}{120} = \frac{144}{120} = 1.2$

Теперь найдем $M(X^2)$. Для этого составим закон распределения для $X^2$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0 \cdot \frac{20}{120} + 1 \cdot \frac{60}{120} + 4 \cdot \frac{36}{120} + 9 \cdot \frac{4}{120} = \frac{0 + 60 + 144 + 36}{120} = \frac{240}{120} = 2$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 2 - (1.2)^2 = 2 - 1.44 = 0.56$

Проверка по готовой формуле для дисперсии гипергеометрического распределения:

$D(X) = n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right) \frac{N-n}{N-1}$

$D(X) = 3 \cdot \frac{4}{10} \left(1 - \frac{4}{10}\right) \frac{10-3}{10-1} = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 \cdot \frac{7}{9} = 0.72 \cdot \frac{7}{9} = \frac{0.72 \cdot 7}{9} = 0.08 \cdot 7 = 0.56$

Результаты совпадают.

Ответ: $D(X) = 0.56$

8.16. Найдите q, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по закону:

a) $ \begin{array}{c|c|c|c|c} X & -2 & -3 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.1 & q & 0.4 & 0.2 \end{array} $;

б) $ \begin{array}{c|c|c|c|c} X & 1 & 2 & 5 & 7 \\ \hline P & q & 0.2 & 0.3 & 0.3 \end{array} $.

а)

1. Найдем q.
Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины равна 1.$ \sum p_i = 1 $
$ 0,1 + q + 0,4 + 0,2 = 1 $
$ 0,7 + q = 1 $
$ q = 1 - 0,7 = 0,3 $
Таким образом, закон распределения имеет вид:

2. Найдем математическое ожидание M(X).
Математическое ожидание вычисляется по формуле:$ M(X) = \sum x_i p_i $
$ M(X) = (-2) \cdot 0,1 + (-3) \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 = -0,2 - 0,9 + 0,4 + 0,4 = -0,3 $

3. Найдем дисперсию D(X).
Дисперсия вычисляется по формуле:$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $
Сначала найдем $M(X^2)$:$ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i $
$ M(X^2) = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-3)^2 \cdot 0,3 + 1^2 \cdot 0,4 + 2^2 \cdot 0,2 $
$ M(X^2) = 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,2 = 0,4 + 2,7 + 0,4 + 0,8 = 4,3 $
Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = 4,3 - (-0,3)^2 = 4,3 - 0,09 = 4,21 $

4. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $
$ \sigma(X) = \sqrt{4,21} \approx 2,052 $

Ответ: $ q = 0,3 $; $ M(X) = -0,3 $; $ D(X) = 4,21 $; $ \sigma(X) \approx 2,052 $.

б)

1. Найдем q.
Сумма всех вероятностей равна 1:$ \sum p_i = 1 $
$ q + 0,2 + 0,3 + 0,3 = 1 $
$ q + 0,8 = 1 $
$ q = 1 - 0,8 = 0,2 $
Таким образом, закон распределения имеет вид:

2. Найдем математическое ожидание M(X).
$ M(X) = \sum x_i p_i $
$ M(X) = 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,3 = 0,2 + 0,4 + 1,5 + 2,1 = 4,2 $

3. Найдем дисперсию D(X).
$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $
Сначала найдем $M(X^2)$:$ M(X^2) = \sum x_i^2 p_i $
$ M(X^2) = 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,3 $
$ M(X^2) = 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,3 = 0,2 + 0,8 + 7,5 + 14,7 = 23,2 $
Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = 23,2 - (4,2)^2 = 23,2 - 17,64 = 5,56 $

4. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).
$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $
$ \sigma(X) = \sqrt{5,56} \approx 2,358 $

Ответ: $ q = 0,2 $; $ M(X) = 4,2 $; $ D(X) = 5,56 $; $ \sigma(X) \approx 2,358 $.

8.17. При каком значении y для случайной величины X, распределенной по закону

X | 0 | y | 4 | 6

P | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4

, выполнено равенство:

a) $M(X) = 9,8;$

б) $D(X) = 5,16?$

Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

a) Найдем значение y, при котором математическое ожидание M(X) = 9,8.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 0 \cdot 0,2 + y \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,3 + 6 \cdot 0,4$

$M(X) = 0 + 0,1y + 1,2 + 2,4$

$M(X) = 0,1y + 3,6$

По условию M(X) = 9,8. Составим и решим уравнение:

$0,1y + 3,6 = 9,8$

$0,1y = 9,8 - 3,6$

$0,1y = 6,2$

$y = \frac{6,2}{0,1} = 62$

Ответ: 62.

б) Найдем значение y, при котором дисперсия D(X) = 5,16.

Дисперсия вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание M(X) в зависимости от y (как в пункте а):

$M(X) = 0,1y + 3,6$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, M(X²). Для этого составим закон распределения для X²:

Значения X²: $0^2=0$, $y^2$, $4^2=16$, $6^2=36$.

Вероятности P: 0,2, 0,1, 0,3, 0,4.

Вычислим M(X²):

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0,2 + y^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,3 + 6^2 \cdot 0,4$

$M(X^2) = 0 + 0,1y^2 + 16 \cdot 0,3 + 36 \cdot 0,4$

$M(X^2) = 0,1y^2 + 4,8 + 14,4$

$M(X^2) = 0,1y^2 + 19,2$

Подставим выражения для M(X) и M(X²) в формулу для дисперсии:

$D(X) = (0,1y^2 + 19,2) - (0,1y + 3,6)^2$

Раскроем скобки:

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - ( (0,1y)^2 + 2 \cdot 0,1y \cdot 3,6 + 3,6^2 )$

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - (0,01y^2 + 0,72y + 12,96)$

$D(X) = 0,1y^2 + 19,2 - 0,01y^2 - 0,72y - 12,96$

$D(X) = 0,09y^2 - 0,72y + 6,24$

По условию D(X) = 5,16. Составим и решим уравнение:

$0,09y^2 - 0,72y + 6,24 = 5,16$

$0,09y^2 - 0,72y + 6,24 - 5,16 = 0$

$0,09y^2 - 0,72y + 1,08 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от дробей:

$9y^2 - 72y + 108 = 0$

Разделим все уравнение на 9:

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 12. Корни: y₁=2 и y₂=6.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$

$y_1 = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_2 = \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба значения являются решениями.

Ответ: 2; 6.

8.18. Дана случайная величина $X$, распределенная по закону

где $P_m = C_n^m p^m q^{n-m}$, $m = 0,1,2..., n$, $q = 1 - p$, $0 < p < 1$.

Случайная величина $X$ называется распределенной по биноми-нальному закону. Найдите $M(X)$ и $D(X)$.

Дана случайная величина X, распределенная по биномиальному закону. Это означает, что X может принимать целые значения от 0 до $n$, и вероятность каждого значения $m$ определяется формулой Бернулли:$P(X=m) = P_m = C_n^m p^m q^{n-m}$, где $m = 0, 1, 2, ..., n$.Здесь $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании ($0 < p < 1$), а $q = 1-p$ — вероятность «неудачи».Требуется найти математическое ожидание $M(X)$ и дисперсию $D(X)$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:$M(X) = \sum_{m=0}^{n} m \cdot P_m = \sum_{m=0}^{n} m \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Первый член суммы (при $m=0$) равен нулю, поэтому суммирование можно начать с $m=1$:$M(X) = \sum_{m=1}^{n} m \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Преобразуем выражение $m \cdot C_n^m$, используя определение биномиального коэффициента $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$:$m \cdot C_n^m = m \cdot \frac{n!}{m(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-1)!(n-m)!}$.

Далее, $n! = n \cdot (n-1)!$ и $n-m = (n-1) - (m-1)$. Подставив это, получим:$\frac{n!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = n \cdot C_{n-1}^{m-1}$.

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в сумму для $M(X)$:$M(X) = \sum_{m=1}^{n} n \cdot C_{n-1}^{m-1} p^m q^{n-m}$.

Вынесем за знак суммы множители, не зависящие от $m$, а именно $n$ и $p$:$M(X) = np \sum_{m=1}^{n} C_{n-1}^{m-1} p^{m-1} q^{n-m}$.

Для упрощения суммы введем новую переменную $k=m-1$. Когда $m$ изменяется от $1$ до $n$, $k$ изменяется от $0$ до $n-1$. Тогда $m=k+1$, и $n-m = n-(k+1) = (n-1)-k$. Сумма принимает вид:$M(X) = np \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} p^{k} q^{(n-1)-k}$.

Выражение под знаком суммы является разложением бинома Ньютона для $(p+q)^{n-1}$. Так как по условию $q=1-p$, то $p+q=1$, и, следовательно, $(p+q)^{n-1} = 1^{n-1} = 1$.

В итоге получаем:$M(X) = np \cdot 1 = np$.

Ответ: $M(X) = np$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.Мы уже нашли $M(X) = np$, поэтому $[M(X)]^2 = (np)^2$. Осталось найти $M(X^2)$.

$M(X^2)$ — это математическое ожидание квадрата случайной величины:$M(X^2) = \sum_{m=0}^{n} m^2 \cdot P_m = \sum_{m=0}^{n} m^2 \cdot C_n^m p^m q^{n-m}$.

Для вычисления этой суммы применим прием: представим $m^2$ в виде $m(m-1)+m$.$M(X^2) = \sum_{m=0}^{n} (m(m-1)+m) \cdot C_n^m p^m q^{n-m} = \sum_{m=0}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m} + \sum_{m=0}^{n} m C_n^m p^m q^{n-m}$.

Второе слагаемое в этой сумме — это в точности $M(X)$, которое мы уже вычислили: $\sum_{m=0}^{n} m C_n^m p^m q^{n-m} = M(X) = np$.

Рассмотрим первое слагаемое. Члены суммы для $m=0$ и $m=1$ равны нулю, поэтому суммирование можно начать с $m=2$:$\sum_{m=2}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m}$.

Преобразуем выражение $m(m-1) C_n^m$:$m(m-1) C_n^m = m(m-1) \frac{n!}{m(m-1)(m-2)!(n-m)!} = \frac{n!}{(m-2)!(n-m)!}$.

Используя $n! = n(n-1)(n-2)!$ и $n-m = (n-2)-(m-2)$, получаем:$\frac{n!}{(m-2)!(n-m)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{(m-2)!((n-2)-(m-2))!} = n(n-1) C_{n-2}^{m-2}$.

Подставим это в сумму и вынесем множители $n(n-1)p^2$:$\sum_{m=2}^{n} n(n-1) C_{n-2}^{m-2} p^m q^{n-m} = n(n-1)p^2 \sum_{m=2}^{n} C_{n-2}^{m-2} p^{m-2} q^{n-m}$.

Сделаем замену индекса $k=m-2$. Когда $m$ меняется от $2$ до $n$, $k$ меняется от $0$ до $n-2$. Тогда $n-m=n-(k+2)=(n-2)-k$.Сумма становится: $n(n-1)p^2 \sum_{k=0}^{n-2} C_{n-2}^{k} p^k q^{(n-2)-k}$.

Сумма $\sum_{k=0}^{n-2} C_{n-2}^{k} p^k q^{(n-2)-k}$ является разложением бинома $(p+q)^{n-2} = 1^{n-2} = 1$.Следовательно, $\sum_{m=2}^{n} m(m-1) C_n^m p^m q^{n-m} = n(n-1)p^2$.

Теперь мы можем найти $M(X^2)$:$M(X^2) = n(n-1)p^2 + np$.

Наконец, вычисляем дисперсию:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = (n(n-1)p^2 + np) - (np)^2$$D(X) = (n^2 p^2 - np^2 + np) - n^2 p^2 = np - np^2 = np(1-p)$.

Так как $q = 1-p$, окончательно получаем:$D(X) = npq$.

Ответ: $D(X) = npq$.