Страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.19. Случайную величину $X$, распределенную по закону

$X$ | 1 | 2 | ... | $n$ | ...

$P$ | $p_1$ | $p_2$ | ... | $p_n$ | ...

, называют распределенной по геометрическому закону, если $P_n = q^{n-1} \cdot p$, $q = 1 - p$, $0 < p < 1$. Найдите $M(X)$.

Для нахождения математического ожидания $M(X)$ дискретной случайной величины $X$, распределенной по геометрическому закону, необходимо воспользоваться определением математического ожидания. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n p_n$

В данном случае значения случайной величины $x_n = n$ (где $n = 1, 2, 3, \ldots$), а соответствующие им вероятности заданы формулой геометрического распределения:$p_n = P(X=n) = q^{n-1}p$где $q = 1-p$ и $0 < p < 1$. Отсюда следует, что $0 < q < 1$.

Подставим эти значения в формулу математического ожидания:$M(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot (q^{n-1}p)$

Вынесем константу $p$ за знак суммы:$M(X) = p \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$

Получившийся ряд $S = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$ является сходящимся степенным рядом. Его можно записать в развернутом виде:$S = 1 \cdot q^0 + 2 \cdot q^1 + 3 \cdot q^2 + \ldots = 1 + 2q + 3q^2 + \ldots$

Для нахождения суммы этого ряда рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots = \frac{1}{1-q}$Эта формула верна для $|q| < 1$, что выполняется в нашем случае.

Продифференцируем обе части этого равенства по $q$:$\frac{d}{dq} \left( \sum_{n=0}^{\infty} q^n \right) = \frac{d}{dq} \left( \frac{1}{1-q} \right)$

Дифференцируя левую часть почленно, получаем:$\frac{d}{dq} \left( \sum_{n=0}^{\infty} q^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1}$Это как раз тот ряд, сумму которого мы ищем.

Дифференцируя правую часть, получаем:$\frac{d}{dq} \left( (1-q)^{-1} \right) = -1 \cdot (1-q)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1-q)^2}$

Таким образом, мы нашли сумму ряда $S$:$S = \sum_{n=1}^{\infty} n q^{n-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$

Теперь подставим найденное значение суммы в выражение для $M(X)$:$M(X) = p \cdot S = p \cdot \frac{1}{(1-q)^2}$

Используя соотношение $q = 1-p$, получаем $p = 1-q$. Подставим это в знаменатель:$M(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$

Ответ: $M(X) = \frac{1}{p}$

8.20. Монета подброшена 5 раз. Пользуясь упражнением 8.18, найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу выпадения гербовой стороны монеты.

Данная задача описывает серию из $n$ независимых испытаний Бернулли, где «успехом» является выпадение герба. Случайная величина X, равная числу успехов в такой серии, подчиняется биномиальному распределению.

Параметры для данной задачи:

- число испытаний (подбрасываний монеты) $n = 5$;

- вероятность «успеха» (выпадения герба) в одном испытании $p = 0.5$.

В упражнении 8.18, на которое ссылается условие, вероятно, приводятся или выводятся формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (среднее значение) для случайной величины, имеющей биномиальное распределение, вычисляется по формуле:

$E(X) = np$

Подставляем значения $n=5$ и $p=0.5$:

$E(X) = 5 \cdot 0.5 = 2.5$

Таким образом, в среднем при 5 подбрасываниях монеты герб выпадет 2.5 раза.

Ответ: 2.5.

Дисперсия

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Для биномиального распределения она вычисляется по формуле:

$D(X) = np(1-p) = npq$

Здесь $q$ — вероятность «неудачи» (выпадения решки), которая равна $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Подставляем значения $n=5$, $p=0.5$ и $q=0.5$:

$D(X) = 5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 1.25$

Ответ: 1.25.

8.21. Стрелок при одном выстреле поражает мишень с вероятностью, равной 0,6. Он стреляет до первого попадания в мишень. Случайная величина X равна числу израсходованных патронов. Найдите $M(X)$ и $D(X)$ (см. упражнение 8.19).

В данной задаче описывается последовательность независимых испытаний Бернулли (выстрелов), которые проводятся до первого "успеха" (попадания в мишень). Случайная величина $X$, равная числу израсходованных патронов, имеет геометрическое распределение.

Вероятность успеха в одном испытании, то есть вероятность попадания, дана в условии и равна $p = 0,6$.

Вероятность неудачи (промаха) в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.

Математическое ожидание $M(X)$ и дисперсия $D(X)$ для случайной величины, распределенной по геометрическому закону, находятся по стандартным формулам.

Нахождение M(X)

Математическое ожидание для геометрического распределения равно обратному значению вероятности успеха и вычисляется по формуле:

$M(X) = \frac{1}{p}$

Подставляем известное значение $p = 0,6$:

$M(X) = \frac{1}{0,6} = \frac{1}{6/10} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Ответ: $M(X) = \frac{5}{3}$.

Нахождение D(X)

Дисперсия для геометрического распределения вычисляется по формуле:

$D(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{q}{p^2}$

Подставляем известные значения $p = 0,6$ и $q = 0,4$:

$D(X) = \frac{0,4}{(0,6)^2} = \frac{0,4}{0,36} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$

Ответ: $D(X) = \frac{10}{9}$.

8.22. Сколькими способами можно:
а) распределить;
б) поделить поровну 6 учебников между двумя учениками?

Задача состоит из двух частей, которые отличаются постановкой вопроса: в первом случае ученики различимы, а во втором — нет.

а) В этом случае речь идет о распределении 6 различных учебников между двумя конкретными учениками. Поскольку учебники распределяются поровну, каждый ученик должен получить по 3 учебника. Важно, какой именно ученик получит какой набор учебников.

Нам нужно выбрать 3 учебника из 6 для первого ученика. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 6 элементов по 3. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения: $n=6$ (общее количество учебников) и $k=3$ (количество учебников для первого ученика).

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{36} = 20$.

Когда первый ученик получает свои 3 учебника, оставшиеся 3 учебника автоматически переходят ко второму ученику. Таким образом, количество способов выбрать книги для первого ученика и определяет общее количество способов распределения.

Например, если первый ученик получает набор книг {A, B, C}, а второй — {D, E, F}, это один способ. Если же первый ученик получает {D, E, F}, а второй — {A, B, C}, это уже другой, отдельный способ. Оба этих случая учтены в нашем расчете.

Ответ: 20.

б) В этом случае нужно поделить 6 учебников на две равные группы (стопки) по 3 учебника в каждой. В отличие от пункта а), здесь не имеет значения, кому какая группа достанется; мы просто формируем две неразличимые группы.

Мы можем использовать результат из пункта а). Там мы нашли, что существует 20 способов распределить учебники между двумя различимыми учениками.

Рассмотрим одно конкретное разделение учебников на две группы, например, {A, B, C} и {D, E, F}. В пункте а) мы считали за два разных способа:

1. Ученик 1 получает {A, B, C}, а Ученик 2 получает {D, E, F}.

2. Ученик 1 получает {D, E, F}, а Ученик 2 получает {A, B, C}.

Для задачи "поделить" эти два случая представляют собой одно и то же разделение на две группы. Это означает, что каждый уникальный способ разделения на две группы мы посчитали в пункте а) дважды (по числу перестановок этих двух групп).

Чтобы найти количество способов поделить учебники на две неразличимые группы, нужно результат из пункта а) разделить на 2 (или, что то же самое, на $2!$ — количество перестановок двух групп):

Количество способов поделить = $\frac{\text{Количество способов распределить}}{2!} = \frac{20}{2} = 10$.

Этот результат также можно получить по формуле числа разбиений множества на неупорядоченные подмножества одинакового размера. Мы выбираем 3 книги из 6 ($C_6^3$ способов), а затем делим на количество перестановок полученных групп ($2!$).

Ответ: 10.

8.23. К 4 л 10%-й кислоты добавили воду и получили 4%-ю кислоту. Сколько литров воды добавили?

Для решения этой задачи необходимо определить количество чистой кислоты в исходном растворе, так как это количество не изменяется при добавлении воды.

1. Найдем объем чистой кислоты в 4 литрах 10%-го раствора. Концентрацию 10% можно представить в виде десятичной дроби 0.10.

Объем кислоты = Общий объем раствора × Концентрация

$V_{кислоты} = 4 \text{ л} \times 0.10 = 0.4$ л.

Итак, в исходном растворе содержится 0.4 литра чистой кислоты.

2. После добавления воды мы получили новый раствор с концентрацией 4% (или 0.04). Количество чистой кислоты в нем осталось прежним – 0.4 литра. Обозначим количество добавленной воды через $x$ литров. Тогда новый общий объем раствора будет равен $(4 + x)$ литров.

3. Составим уравнение, связывающее объем кислоты, новый общий объем и новую концентрацию:

$0.4 = (4 + x) \times 0.04$

4. Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

Разделим обе части уравнения на 0.04:

$4 + x = \frac{0.4}{0.04}$

$4 + x = 10$

Теперь найдем $x$:

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Следовательно, было добавлено 6 литров воды.

Ответ: 6 л.

8.24. Напишите уравнение касательной к кривой $y=\sqrt{2} \sin x$ в точке $x=\frac{\pi}{4}$.

8.24. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет общий вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае дана функция $f(x) = \sqrt{2} \sin x$ и точка касания $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Выполним решение по шагам:

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Итак, $y_0 = f(x_0) = 1$. Координаты точки касания: $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{2} \sin x)' = \sqrt{2} \cdot (\sin x)' = \sqrt{2} \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке касания $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Это значение равно угловому коэффициенту $k$ касательной.

$k = f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$k = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = 1$ в общее уравнение касательной:

$y = 1 + 1 \cdot (x - \frac{\pi}{4})$

Упростим полученное уравнение:

$y = 1 + x - \frac{\pi}{4}$

$y = x + 1 - \frac{\pi}{4}$

Ответ: $y = x + 1 - \frac{\pi}{4}$