Страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.28. Дан закон распределения СВ X:

$X$ | 0,3 | 0,6

$P$ | 0,2 | 0,8

Найдите среднеквадратическое (стандартное) отклонение этой СВ.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение $\sigma(X)$ случайной величины X вычисляется как квадратный корень из ее дисперсии $D(X)$. Формула для среднеквадратического отклонения: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

Для нахождения дисперсии $D(X)$ воспользуемся формулой: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание (среднее значение) случайной величины, а $M(X^2)$ — математическое ожидание ее квадрата.

Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$. Оно равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:
$M(X) = \sum x_i p_i = 0,3 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot 0,8 = 0,06 + 0,48 = 0,54$.

Далее найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$. Для этого сначала определим закон распределения для $X^2$. Возможные значения $X^2$ равны $0,3^2 = 0,09$ и $0,6^2 = 0,36$, а соответствующие им вероятности остаются прежними: $0,2$ и $0,8$. Тогда:
$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0,09 \cdot 0,2 + 0,36 \cdot 0,8 = 0,018 + 0,288 = 0,306$.

Теперь можем вычислить дисперсию $D(X)$:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0,306 - (0,54)^2 = 0,306 - 0,2916 = 0,0144$.

Наконец, находим среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)$, извлекая квадратный корень из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,0144} = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

8.29. Найдите дискретную СВ, распределенную по закону

$\begin{array}{c|c|c|c}X & 0,1 & 0,4 & 0,6 \\\hlineP & 0,2 & 0,3 & 0,5 \\\end{array}$

Поскольку вопрос "Найдите дискретную СВ" является общим, мы найдем основные числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, а также ее функцию распределения, моду и медиану. Закон распределения задан следующей таблицей:

Возможные значения случайной величины: $x_1 = 0,1$, $x_2 = 0,4$, $x_3 = 0,6$.

Соответствующие им вероятности: $p_1 = 0,2$, $p_2 = 0,3$, $p_3 = 0,5$.

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1. $0,2 + 0,3 + 0,5 = 1$. Условие выполнено.

Математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 0,1 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,5$

$M(X) = 0,02 + 0,12 + 0,30 = 0,44$

Ответ: $M(X) = 0,44$.

Дисперсия

Дисперсия $D(X)$ характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Формула для вычисления:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$

$M(X^2) = (0,1)^2 \cdot 0,2 + (0,4)^2 \cdot 0,3 + (0,6)^2 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 0,01 \cdot 0,2 + 0,16 \cdot 0,3 + 0,36 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 0,002 + 0,048 + 0,180 = 0,23$

Теперь вычислим дисперсию, используя ранее найденное $M(X) = 0,44$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0,23 - (0,44)^2 = 0,23 - 0,1936 = 0,0364$

Ответ: $D(X) = 0,0364$.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое (или стандартное) отклонение $\sigma(X)$ равно квадратному корню из дисперсии и имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{0,0364} \approx 0,1908$

Ответ: $\sigma(X) \approx 0,1908$.

Функция распределения

Интегральная функция распределения $F(x)$ для случайной величины $X$ определяется как вероятность того, что $X$ примет значение, меньшее или равное $x$: $F(x) = P(X \le x)$.

Найдем значения функции для всех действительных $x$:

1. При $x < 0,1$, $F(x) = P(X \le x) = 0$.

2. При $0,1 \le x < 0,4$, $F(x) = P(X = 0,1) = 0,2$.

3. При $0,4 \le x < 0,6$, $F(x) = P(X \le 0,4) = P(X=0,1) + P(X=0,4) = 0,2 + 0,3 = 0,5$.

4. При $x \ge 0,6$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=0,1) + P(X=0,4) + P(X=0,6) = 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1$.

Таким образом, функция распределения имеет следующий вид:

$F(x) = \begin{cases}0, & \text{при } x < 0,1 \\0,2, & \text{при } 0,1 \le x < 0,4 \\0,5, & \text{при } 0,4 \le x < 0,6 \\1, & \text{при } x \ge 0,6\end{cases}$

Ответ: Функция распределения $F(x)$ задается указанным выше кусочно-постоянным выражением.

Мода и медиана

Мода ($Mo$) — это наиболее вероятное значение случайной величины. В данном распределении наибольшая вероятность $p_{max} = 0,5$ соответствует значению $X = 0,6$.

Медиана ($Me$) — это такое значение $m$, что одновременно выполняются неравенства $P(X \le m) \ge 0,5$ и $P(X \ge m) \ge 0,5$.

Проверим значение $x=0,4$:

$P(X \le 0,4) = F(0,4) = 0,2 + 0,3 = 0,5$. Первое условие ($ \ge 0,5$) выполнено.

$P(X \ge 0,4) = P(X=0,4) + P(X=0,6) = 0,3 + 0,5 = 0,8$. Второе условие ($ \ge 0,5$) также выполнено.

Таким образом, медиана равна $0,4$.

Ответ: Мода $Mo = 0,6$; медиана $Me = 0,4$.

В задачах 8.30–8.33 дискретная СВ $X$ может принимать только два значения $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 < x_2$. Через $P_1$ и $P_2$ обозначены вероятности $P(X = x_1) = p_1$, $P(X = x_2) = p_2$. Найдите закон распределения этой СВ $X$:

8.30. $x_1 = 1, p_2 = 0,3, M(X) = 1,3.$

Для нахождения закона распределения дискретной случайной величины (СВ) $X$ необходимо определить все её возможные значения и соответствующие им вероятности. По условию, СВ $X$ принимает два значения $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 < x_2$.

Известно, что сумма всех вероятностей для дискретной СВ равна 1. Следовательно, для данной задачи выполняется равенство:$p_1 + p_2 = 1$

По условию, $p_2 = 0,3$. Подставив это значение в формулу, найдем $p_1$:$p_1 = 1 - p_2 = 1 - 0,3 = 0,7$.

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$

Из условия задачи даны значения $x_1 = 1$ и $M(X) = 1,3$. Подставим все известные величины ($x_1$, $p_1$, $p_2$, $M(X)$) в формулу математического ожидания, чтобы найти неизвестное значение $x_2$:$1,3 = 1 \cdot 0,7 + x_2 \cdot 0,3$

Решим полученное уравнение:$1,3 = 0,7 + 0,3x_2$$0,3x_2 = 1,3 - 0,7$$0,3x_2 = 0,6$$x_2 = \frac{0,6}{0,3} = 2$

Проверим выполнение условия $x_1 < x_2$. Мы имеем $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$, условие $1 < 2$ выполняется.

Таким образом, мы нашли все компоненты закона распределения: значения случайной величины $x_1=1$ и $x_2=2$ с вероятностями $p_1=0,7$ и $p_2=0,3$ соответственно.

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ представлен в виде таблицы:$ \begin{array}{c|c|c} X & 1 & 2 \\ \hline P & 0,7 & 0,3 \end{array}$

8.31. $x_2 = 2,5, p_2 = 0,4, M(X) = 2,2.$

Пусть X — дискретная случайная величина. Из условия задачи известны следующие данные: одно из возможных значений $x_2 = 2,5$, вероятность этого значения $p_2 = 0,4$, и математическое ожидание величины $M(X) = 2,2$. Необходимо восстановить закон распределения этой случайной величины.

Для любого закона распределения дискретной случайной величины должны выполняться два условия:
1. Сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.
2. Математическое ожидание $M(X)$ равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: $M(X) = \sum x_i p_i$.

Предположим, что случайная величина X имеет только два возможных значения, так как это простейший случай, удовлетворяющий условию. Обозначим их $x_1$ и $x_2$, а их вероятности — $p_1$ и $p_2$.

Используя первое свойство (сумма вероятностей равна 1), мы можем найти неизвестную вероятность $p_1$:

$p_1 + p_2 = 1$

Подставим известное значение $p_2 = 0,4$:

$p_1 + 0,4 = 1$

$p_1 = 1 - 0,4 = 0,6$

Теперь, зная обе вероятности, мы можем использовать второе свойство (формулу математического ожидания) для нахождения неизвестного значения $x_1$:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$

Подставим известные значения $M(X) = 2,2$, $p_1 = 0,6$, $x_2 = 2,5$ и $p_2 = 0,4$:

$2,2 = x_1 \cdot 0,6 + 2,5 \cdot 0,4$

$2,2 = 0,6 x_1 + 1,0$

Решим это уравнение относительно $x_1$:

$0,6 x_1 = 2,2 - 1,0$

$0,6 x_1 = 1,2$

$x_1 = \frac{1,2}{0,6} = 2$

Таким образом, мы нашли все недостающие элементы закона распределения. Полный закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы:

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X & 2 & 2,5 \\ \hline P & 0,6 & 0,4 \\ \hline \end{array} $

Проверим правильность решения: сумма вероятностей $0,6 + 0,4 = 1$, что верно. Математическое ожидание $M(X) = 2 \cdot 0,6 + 2,5 \cdot 0,4 = 1,2 + 1,0 = 2,2$, что совпадает с условием.

Ответ: Неизвестное значение случайной величины равно $x_1=2$, а его вероятность $p_1=0,6$.

8.32. $x_1 = 3, p_1 = 0,5, M(X) = 4.$

Дана дискретная случайная величина $X$. Из условия задачи известны следующие параметры ее распределения:
- Одно из возможных значений: $x_1 = 3$.
- Вероятность этого значения: $p_1 = 0,5$.
- Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины: $M(X) = 4$.

Поскольку в задаче не указано общее количество возможных значений случайной величины $X$, для получения однозначного решения сделаем наиболее простое предположение, что $X$ имеет всего два возможных значения: $x_1$ и $x_2$.

Для нахождения неизвестных параметров распределения ($x_2$ и $p_2$) воспользуемся основными свойствами дискретных случайных величин.
Во-первых, сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:
$\sum p_i = 1$
Для нашего случая с двумя значениями:
$p_1 + p_2 = 1$
Подставив известное значение $p_1 = 0,5$, найдем $p_2$:
$0,5 + p_2 = 1 \implies p_2 = 1 - 0,5 = 0,5$

Во-вторых, математическое ожидание $M(X)$ определяется формулой:
$M(X) = \sum x_i p_i$
Для нашего случая:
$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$
Подставим все известные значения в эту формулу, чтобы найти $x_2$:
$4 = 3 \cdot 0,5 + x_2 \cdot 0,5$
$4 = 1,5 + 0,5 x_2$
$0,5 x_2 = 4 - 1,5$
$0,5 x_2 = 2,5$
$x_2 = \frac{2,5}{0,5} = 5$

Таким образом, мы полностью определили закон распределения случайной величины $X$. Она принимает значение 3 с вероятностью 0,5 и значение 5 с вероятностью 0,5.

Для более полной характеристики распределения вычислим также дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 = 3^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,5 = 9 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,5 = 4,5 + 12,5 = 17$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 17 - 4^2 = 17 - 16 = 1$.
Среднее квадратическое отклонение является квадратным корнем из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: При предположении, что случайная величина принимает только два значения, ее закон распределения следующий: второе возможное значение $x_2=5$ с вероятностью $p_2=0,5$. Полный закон распределения:
$P(X=3) = 0,5$
$P(X=5) = 0,5$
Дисперсия данной случайной величины $D(X) = 1$, а среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) = 1$.

8.33. $x_2 = 2, p_1 = 0,6, M(X) = 1,4$.

Поскольку в условии задачи не указано количество возможных значений случайной величины $X$, будем исходить из наиболее простого предположения, что их два: $x_1$ и $x_2$. Задача состоит в том, чтобы на основе предоставленных данных восстановить полный закон распределения и найти его основные числовые характеристики.

Пусть дискретная случайная величина $X$ может принимать два значения $x_1$ и $x_2$ с вероятностями $p_1$ и $p_2$ соответственно. По условию, нам известны: $x_2=2$, $p_1=0.6$ и математическое ожидание $M(X)=1.4$.

Основное свойство дискретного распределения вероятностей состоит в том, что сумма всех вероятностей равна 1:$p_1 + p_2 = 1$

Подставляя известное значение $p_1=0.6$, находим $p_2$:$0.6 + p_2 = 1$$p_2 = 1 - 0.6 = 0.4$

Математическое ожидание $M(X)$ определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$

Подставим известные значения $M(X)=1.4$, $p_1=0.6$, $x_2=2$ и найденное значение $p_2=0.4$ в формулу:$1.4 = x_1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.4$$1.4 = 0.6x_1 + 0.8$

Теперь решим это уравнение относительно $x_1$:$0.6x_1 = 1.4 - 0.8$$0.6x_1 = 0.6$$x_1 = 1$

Таким образом, мы полностью определили закон распределения случайной величины $X$. Он может быть представлен в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$: значение $x_1=1$ с вероятностью $p_1=0.6$ и значение $x_2=2$ с вероятностью $p_2=0.4$.

Дисперсия случайной величины $X$ вычисляется по формуле:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2$

Используя найденный закон распределения ($x_1=1, p_1=0.6, x_2=2, p_2=0.4$), получаем:$M(X^2) = (1)^2 \cdot 0.6 + (2)^2 \cdot 0.4 = 1 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.4 = 0.6 + 1.6 = 2.2$

Математическое ожидание $M(X)$ было дано в условии и равно 1.4. Теперь мы можем вычислить дисперсию:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 2.2 - (1.4)^2 = 2.2 - 1.96 = 0.24$

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии:$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.24}$

Можно упростить это выражение:$\sigma(X) = \sqrt{0.24} = \sqrt{\frac{24}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{10} = \frac{\sqrt{6}}{5}$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 0.24$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) = \sqrt{0.24} = \frac{\sqrt{6}}{5}$.

8.34. 4 альчика из 7 альчиков, имеющихся в мешочке, окрашены. Из мешочка случайно вынимается 2 альчика. СВ $X$ равна количеству окрашенных альчиков среди вынутых альчиков. Требуется найти:

1) закон распределения СВ $X$;

2) $M(X)$ и $D(X)$;

3) $P(X > 1)$;

4) определить вид распределения.

1) закон распределения СВ X;
Пусть случайная величина (СВ) X — это количество окрашенных альчиков среди двух случайно вынутых. Всего в мешочке 7 альчиков, из которых 4 окрашены и 3 не окрашены. Вынимается 2 альчика. СВ X может принимать значения 0, 1 или 2.
Общее число способов выбрать 2 альчика из 7 равно числу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, то есть $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Найдем вероятности для каждого возможного значения X, используя формулу классической вероятности:
- Вероятность того, что не будет выбрано ни одного окрашенного альчика ($X=0$). Это означает, что выбрано 0 окрашенных из 4 и 2 неокрашенных из 3.$P(X=0) = \frac{C_4^0 \cdot C_3^2}{C_7^2} = \frac{1 \cdot 3}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
- Вероятность того, что будет выбран один окрашенный альчик ($X=1$). Это означает, что выбран 1 окрашенный из 4 и 1 неокрашенный из 3.$P(X=1) = \frac{C_4^1 \cdot C_3^1}{C_7^2} = \frac{4 \cdot 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.
- Вероятность того, что будут выбраны два окрашенных альчика ($X=2$). Это означает, что выбрано 2 окрашенных из 4 и 0 неокрашенных из 3.$P(X=2) = \frac{C_4^2 \cdot C_3^0}{C_7^2} = \frac{6 \cdot 1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.
Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{7}{7} = 1$.
Ответ: Закон распределения СВ X задается рядом распределения: P(X=0) = 1/7, P(X=1) = 4/7, P(X=2) = 2/7.

2) M(X) и D(X);
Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$.
$M(X) = 0 \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{4}{7} + 2 \cdot \frac{2}{7} = 0 + \frac{4}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8}{7}$.
Дисперсия $D(X)$ (мера разброса) вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{7} + 1^2 \cdot \frac{4}{7} + 2^2 \cdot \frac{2}{7} = 0 + 1 \cdot \frac{4}{7} + 4 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{12}{7}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{12}{7} - \left(\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{12}{7} - \frac{64}{49} = \frac{12 \cdot 7}{49} - \frac{64}{49} = \frac{84 - 64}{49} = \frac{20}{49}$.
Ответ: $M(X) = \frac{8}{7} \approx 1.143$, $D(X) = \frac{20}{49} \approx 0.408$.

3) P(X > 1);
Событие $X > 1$ означает, что число окрашенных альчиков среди вынутых строго больше одного. Так как максимальное возможное значение X равно 2, то это событие эквивалентно событию $X=2$.
$P(X > 1) = P(X=2)$.
Из пункта 1 мы знаем, что $P(X=2) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $P(X > 1) = \frac{2}{7}$.

4) определить вид распределения.
Данное распределение является гипергеометрическим. Это распределение описывает вероятность получения $k$ успехов (в нашем случае — окрашенных альчиков) в выборке размера $n$ из конечной совокупности размера $N$, содержащей $K$ объектов с нужным свойством, когда выборка производится без возвращения.
Параметры распределения в данной задаче:
- $N = 7$ — общий размер совокупности (всего альчиков).
- $K = 4$ — количество "успехов" в совокупности (окрашенных альчиков).
- $n = 2$ — размер выборки (количество вынутых альчиков).
Формула вероятности для гипергеометрического распределения $P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$ полностью соответствует расчетам, произведенным в пункте 1.
Ответ: Гипергеометрическое распределение.

8.35. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле $p = 0,8$. Найдите:

1) закон распределения СВ $X$, равный числу попаданий в мишень;

2) $P(1 < X < 3)$;

3) $M(X)$ и $D[X]$;

4) определить вид распределения.

1) закон распределения СВ X, равный числу попаданий в мишень;

В задаче рассматривается серия из $n=4$ независимых испытаний (выстрелов). Каждое испытание имеет два исхода: попадание (успех) или промах (неудача). Вероятность успеха $p$ постоянна для каждого испытания и равна $p=0,8$. Вероятность неудачи $q$ равна $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.
Случайная величина $X$, равная числу успехов (попаданий) в $n$ испытаниях, имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ попаданий, вычисляется по формуле Бернулли:
$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
Возможные значения $X$: 0, 1, 2, 3, 4. Рассчитаем вероятности для каждого из этих значений:
$P(X=0) = C_4^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,0016 = 0,0016$
$P(X=1) = C_4^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^3 = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,008 = 0,0256$
$P(X=2) = C_4^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 0,64 \cdot 0,04 = 6 \cdot 0,0256 = 0,1536$
$P(X=3) = C_4^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^1 = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 = 0,4096$
$P(X=4) = C_4^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,4096 \cdot 1 = 0,4096$
Закон распределения представляет собой соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Ответ: Закон распределения СВ $X$ можно представить в виде ряда распределения:
$X_i$: 0, 1, 2, 3, 4
$P_i$: 0,0016; 0,0256; 0,1536; 0,4096; 0,4096

2) P(1 < X < 3);

Событие $1 < X < 3$ для дискретной случайной величины $X$, которая может принимать только целые значения, означает, что $X$ должен быть равен 2. Таким образом, нам нужно найти $P(X=2)$.
Из пункта 1 мы уже знаем эту вероятность:
$P(1 < X < 3) = P(X=2) = 0,1536$

Ответ: $P(1 < X < 3) = 0,1536$.

3) M(X) и D[X];

Для биномиального распределения математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ и дисперсия $D(X)$ вычисляются по формулам:
$M(X) = n \cdot p$
$D(X) = n \cdot p \cdot q$
Подставим наши значения $n=4$, $p=0,8$ и $q=0,2$:
$M(X) = 4 \cdot 0,8 = 3,2$
$D(X) = 4 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 3,2 \cdot 0,2 = 0,64$

Ответ: $M(X) = 3,2$; $D(X) = 0,64$.

4) определить вид распределения.

Так как случайная величина $X$ представляет собой число "успехов" (попаданий) в фиксированной серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность "успеха" $p$ постоянна, то данное распределение является биномиальным. Параметры этого распределения: число испытаний $n=4$ и вероятность успеха в одном испытании $p=0,8$.

Ответ: Биномиальное распределение.

8.36. Бросают три монеты. Найдите:

1) закон распределения СВ $X$, равный числу выпавших гербовых сторон;

2) $P(X > 1)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$;

4) определить вид распределения.

В данной задаче рассматривается эксперимент с бросанием трех монет. Обозначим выпадение герба как «Г», а решки — как «Р». Общее число всех возможных равновероятных исходов составляет $2^3 = 8$. Перечислим все исходы:

РРР, РРГ, РГР, ГРР, РГГ, ГРГ, ГГР, ГГГ.

Случайная величина (СВ) $X$ — это число выпавших гербов. Возможные значения, которые может принимать $X$: 0, 1, 2, 3.

1) закон распределения СВ X, равный числу выпавших гербовых сторон

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$:

- $X=0$: соответствует одному исходу (РРР). Вероятность: $P(X=0) = \frac{1}{8}$.

- $X=1$: соответствует трем исходам (РРГ, РГР, ГРР). Вероятность: $P(X=1) = \frac{3}{8}$.

- $X=2$: соответствует трем исходам (ГГР, ГРГ, РГГ). Вероятность: $P(X=2) = \frac{3}{8}$.

- $X=3$: соответствует одному исходу (ГГГ). Вероятность: $P(X=3) = \frac{1}{8}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Закон распределения СВ $X$ можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения представлен в виде таблицы выше.

2) P(X > 1)

Событие $X > 1$ означает, что число выпавших гербов больше одного, то есть равно 2 или 3. Так как события $X=2$ и $X=3$ несовместны, их вероятности можно сложить:

$P(X > 1) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $P(X > 1) = \frac{1}{2}$.

3) M[X] и D[X]

Математическое ожидание $M[X]$ (среднее значение) вычисляется по формуле $M[X] = \sum_{i} x_i p_i$:

$M[X] = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.

Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$. Сначала найдем $M[X^2]$:

$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{8} = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.

Ответ: $M[X] = 1.5$, $D[X] = 0.75$.

4) определить вид распределения

Данный эксперимент представляет собой схему испытаний Бернулли. У нас есть $n=3$ независимых испытаний (бросков монеты). Каждое испытание имеет два исхода: «успех» (выпал герб) с вероятностью $p=\frac{1}{2}$ и «неудача» (выпала решка) с вероятностью $q = 1 - p = \frac{1}{2}$. Случайная величина $X$ подсчитывает количество «успехов» в $n$ испытаниях.

Такое распределение называется биномиальным. Вероятности можно было вычислить по формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=3$ и $p=1/2$.

Ответ: Биномиальное распределение с параметрами $n=3$ и $p=0.5$.

8.37. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Найдите:

1) закон распределения СВ X, равный числу попадания мячом в корзину при трех бросках;

2) $P(1 < X < 2)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$;

4) определите вид распределения.

1) закон распределения СВ X, равный числу попадания мячом в корзину при трех бросках;
Данная задача описывается схемой Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя исходами (попадание или промах) и постоянной вероятностью успеха. Случайная величина X (число попаданий) имеет биномиальное распределение.
Параметры испытаний:
Число бросков (испытаний) $n = 3$.
Вероятность попадания (успеха) в одном броске $p = 0.4$.
Вероятность промаха (неудачи) в одном броске $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.
Возможные значения случайной величины X: {0, 1, 2, 3}.
Вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.
Вычислим вероятности для каждого возможного значения X:
- $k=0$ (0 попаданий из 3):
$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.216 = 0.216$.
- $k=1$ (1 попадание из 3):
$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{3-1} = 3 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^2 = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.36 = 0.432$.
- $k=2$ (2 попадания из 3):
$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{3-2} = 3 \cdot (0.4)^2 \cdot 0.6 = 3 \cdot 0.16 \cdot 0.6 = 0.288$.
- $k=3$ (3 попадания из 3):
$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{3-3} = 1 \cdot 0.064 \cdot 1 = 0.064$.
Проверка: $0.216 + 0.432 + 0.288 + 0.064 = 1$.
Закон распределения можно представить в виде таблицы:
$\begin{array}{c|c|c|c|c} X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P_i & 0.216 & 0.432 & 0.288 & 0.064 \end{array}$
Ответ: Закон распределения СВ X задается рядом: $P(X=0)=0.216$; $P(X=1)=0.432$; $P(X=2)=0.288$; $P(X=3)=0.064$.

2) P(1 < X < 2);
Случайная величина X является дискретной и может принимать только целые значения {0, 1, 2, 3}. Неравенство $1 < X < 2$ означает, что нужно найти вероятность того, что число попаданий будет строго больше 1 и строго меньше 2. Среди возможных значений X нет ни одного, которое бы удовлетворяло этому условию. Следовательно, событие $1 < X < 2$ является невозможным, и его вероятность равна нулю.
Ответ: $P(1 < X < 2) = 0$.

3) M[X] и D[X];
Для биномиального распределения математическое ожидание $M[X]$ и дисперсия $D[X]$ вычисляются по формулам:
$M[X] = n \cdot p$
$D[X] = n \cdot p \cdot q$
Подставляем наши значения $n=3$, $p=0.4$, $q=0.6$:
Математическое ожидание:
$M[X] = 3 \cdot 0.4 = 1.2$.
Дисперсия:
$D[X] = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 1.2 \cdot 0.6 = 0.72$.
Ответ: $M[X] = 1.2$, $D[X] = 0.72$.

4) определите вид распределения.
Рассматривается схема из $n=3$ независимых одинаковых испытаний (бросков). Каждое испытание имеет два возможных исхода: "успех" (попадание) с вероятностью $p=0.4$ и "неудача" (промах) с вероятностью $q=0.6$. Случайная величина X представляет собой общее число успехов в серии испытаний. Такое распределение вероятностей дискретной случайной величины называется биномиальным.
Ответ: Биномиальное распределение с параметрами $n=3$ и $p=0.4$.

8.38. В партии из 10 деталей имеются 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите:

а) закон распределения СВ X, равной числу стандартных деталей в выборке;

б) $P(X < 1)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

В задаче рассматривается партия из $N=10$ деталей, среди которых $K=8$ стандартных и, соответственно, $N-K=2$ нестандартных. Из этой партии наудачу извлекают $n=2$ детали.

Случайная величина (СВ) $X$ — это число стандартных деталей в выборке из 2-х деталей. СВ $X$ может принимать следующие значения: 0, 1, 2.

Поскольку выборка производится без возвращения, СВ $X$ имеет гипергеометрическое распределение. Вероятность того, что в выборке окажется ровно $k$ стандартных деталей, вычисляется по формуле:
$P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

а) закон распределения СВ X, равной числу стандартных деталей в выборке

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$:

1. Вероятность того, что в выборке нет стандартных деталей ($X=0$). Это означает, что обе взятые детали — нестандартные.
$P(X=0) = \frac{C_8^0 \cdot C_2^2}{C_{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{45} = \frac{1}{45}$.

2. Вероятность того, что в выборке одна стандартная деталь ($X=1$). Это означает, что одна деталь стандартная, а другая — нестандартная.
$P(X=1) = \frac{C_8^1 \cdot C_2^1}{C_{10}^2} = \frac{8 \cdot 2}{45} = \frac{16}{45}$.

3. Вероятность того, что в выборке две стандартные детали ($X=2$). Это означает, что обе взятые детали — стандартные.
$P(X=2) = \frac{C_8^2 \cdot C_2^0}{C_{10}^2} = \frac{\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot 1}{45} = \frac{28}{45}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
$\frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{1+16+28}{45} = \frac{45}{45} = 1$.

Закон распределения СВ X можно представить в виде таблицы:
$x_i$012$p_i$$\frac{1}{45}$$\frac{16}{45}$$\frac{28}{45}$

Ответ: Закон распределения СВ X задается следующими вероятностями: $P(X=0) = \frac{1}{45}$, $P(X=1) = \frac{16}{45}$, $P(X=2) = \frac{28}{45}$.

б) P(X < 1)

Событие $X < 1$ означает, что число стандартных деталей в выборке строго меньше единицы. Единственное возможное значение $X$, удовлетворяющее этому условию, — это $X=0$.
$P(X < 1) = P(X=0) = \frac{1}{45}$.

Ответ: $P(X < 1) = \frac{1}{45}$.

в) M[X] и D[X]

Найдем математическое ожидание (среднее значение) $M[X]$ по формуле $M[X] = \sum x_i p_i$:
$M[X] = 0 \cdot \frac{1}{45} + 1 \cdot \frac{16}{45} + 2 \cdot \frac{28}{45} = 0 + \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6$.

Для нахождения дисперсии $D[X]$ воспользуемся формулой $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем $M[X^2]$:
$M[X^2] = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot \frac{1}{45} + 1^2 \cdot \frac{16}{45} + 2^2 \cdot \frac{28}{45} = 0 + \frac{16}{45} + 4 \cdot \frac{28}{45} = \frac{16 + 112}{45} = \frac{128}{45}$.

Теперь вычислим дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = \frac{128}{45} - (1.6)^2 = \frac{128}{45} - (\frac{8}{5})^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 225:
$D[X] = \frac{128 \cdot 5}{45 \cdot 5} - \frac{64 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{640}{225} - \frac{576}{225} = \frac{640 - 576}{225} = \frac{64}{225}$.

Ответ: $M[X] = 1.6$; $D[X] = \frac{64}{225}$.