Номер 8.32, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.32. $x_1 = 3, p_1 = 0,5, M(X) = 4.$

Дана дискретная случайная величина $X$. Из условия задачи известны следующие параметры ее распределения:
- Одно из возможных значений: $x_1 = 3$.
- Вероятность этого значения: $p_1 = 0,5$.
- Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины: $M(X) = 4$.

Поскольку в задаче не указано общее количество возможных значений случайной величины $X$, для получения однозначного решения сделаем наиболее простое предположение, что $X$ имеет всего два возможных значения: $x_1$ и $x_2$.

Для нахождения неизвестных параметров распределения ($x_2$ и $p_2$) воспользуемся основными свойствами дискретных случайных величин.
Во-первых, сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:
$\sum p_i = 1$
Для нашего случая с двумя значениями:
$p_1 + p_2 = 1$
Подставив известное значение $p_1 = 0,5$, найдем $p_2$:
$0,5 + p_2 = 1 \implies p_2 = 1 - 0,5 = 0,5$

Во-вторых, математическое ожидание $M(X)$ определяется формулой:
$M(X) = \sum x_i p_i$
Для нашего случая:
$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$
Подставим все известные значения в эту формулу, чтобы найти $x_2$:
$4 = 3 \cdot 0,5 + x_2 \cdot 0,5$
$4 = 1,5 + 0,5 x_2$
$0,5 x_2 = 4 - 1,5$
$0,5 x_2 = 2,5$
$x_2 = \frac{2,5}{0,5} = 5$

Таким образом, мы полностью определили закон распределения случайной величины $X$. Она принимает значение 3 с вероятностью 0,5 и значение 5 с вероятностью 0,5.

Для более полной характеристики распределения вычислим также дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$.
Дисперсия вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 = 3^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,5 = 9 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,5 = 4,5 + 12,5 = 17$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 17 - 4^2 = 17 - 16 = 1$.
Среднее квадратическое отклонение является квадратным корнем из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: При предположении, что случайная величина принимает только два значения, ее закон распределения следующий: второе возможное значение $x_2=5$ с вероятностью $p_2=0,5$. Полный закон распределения:
$P(X=3) = 0,5$
$P(X=5) = 0,5$
Дисперсия данной случайной величины $D(X) = 1$, а среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) = 1$.