Номер 8.39, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.39. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите:

а) закон распределения СВ X, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует;

б) $P(2 < X < 4);$

в) $M[X]$ и $D[X].$

а) Пусть случайная величина (СВ) $X$ — это число проб (попыток) при открывании замка. Всего имеется $n=5$ ключей, из которых только один является верным. По условию, испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует, что означает выборку без возвращения. СВ $X$ может принимать целые значения от 1 до 5. Найдем вероятности для каждого из этих значений.
Вероятность того, что замок откроется с первой попытки ($X=1$), равна вероятности сразу выбрать правильный ключ:
$P(X=1) = \frac{1}{5}$.
Для того чтобы замок открылся со второй попытки ($X=2$), первая попытка должна быть неудачной (выбран неверный ключ), а вторая — удачной. Вероятность выбрать неверный ключ в первой попытке равна $\frac{4}{5}$. После этого останется 4 ключа, из которых один верный. Вероятность выбрать верный ключ во второй попытке равна $\frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
Аналогично находим вероятности для остальных случаев:
Для $X=3$ (первые два ключа неверные, третий — верный):
$P(X=3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$.
Для $X=4$ (первые три ключа неверные, четвертый — верный):
$P(X=4) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$.
Для $X=5$ (первые четыре ключа неверные, пятый — верный). Если первые четыре ключа не подошли, то пятый ключ гарантированно будет верным (вероятность 1).
$P(X=5) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{5}$.
Таким образом, СВ $X$ имеет дискретное равномерное распределение. Закон распределения можно представить в виде ряда распределения:
$x_i$: 1, 2, 3, 4, 5
$p_i$: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\sum_{i=1}^{5} p_i = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$.
Ответ: Закон распределения СВ $X$ задается рядом $P(X=k) = \frac{1}{5}$ для $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

б) Требуется найти вероятность $P(2 < X < 4)$.
Неравенство $2 < X < 4$ означает, что случайная величина $X$ должна принять значение, строго большее 2 и строго меньшее 4. Среди возможных целочисленных значений $X$ (1, 2, 3, 4, 5) этому условию удовлетворяет только $X=3$.
Следовательно, искомая вероятность равна вероятности события $X=3$:
$P(2 < X < 4) = P(X=3)$.
Из закона распределения, найденного в пункте а), мы знаем, что $P(X=3) = \frac{1}{5}$.
Ответ: $P(2 < X < 4) = \frac{1}{5}$.

в) Требуется найти математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$.
Математическое ожидание дискретной СВ вычисляется по формуле:
$M[X] = \sum_{i} x_i p_i$.
Для нашего распределения:
$M[X] = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
Дисперсия дискретной СВ вычисляется по формуле:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата СВ $X$, то есть $M[X^2]$:
$M[X^2] = \sum_{i} x_i^2 p_i$.
$M[X^2] = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1+4+9+16+25}{5} = \frac{55}{5} = 11$.
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2$.
Ответ: $M[X] = 3$, $D[X] = 2$.