Номер 8.43, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.43. С вероятностью попадания при одном выстреле $0,7$ охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать только 2 выстрела. Дискретная СВ $X$ – равна числу выстрелов. Найдите:

1) закон распределения $X$;

2) $P(X < 2)$;

3) $M[X]$ и $D[X]$.

Введем обозначения: $p$ — вероятность попадания при одном выстреле, $q$ — вероятность промаха. По условию задачи, $p = 0,7$. Вероятность промаха $q$ равна $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.

Дискретная случайная величина $X$ — это число произведенных выстрелов. Охотник стреляет до первого попадания, но успевает сделать не более двух выстрелов. Это означает, что возможные значения, которые может принимать $X$, это 1 и 2.

1) закон распределения X
Найдем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.
Событие $X=1$ происходит, если охотник попадает в дичь с первого выстрела. Вероятность этого события равна $p$.
$P(X=1) = p = 0,7$.
Событие $X=2$ происходит, если охотник делает два выстрела. Это случается тогда, когда первый выстрел — промах. После первого промаха охотник делает второй выстрел, и на этом стрельба прекращается, так как это максимальное количество выстрелов. Таким образом, для того чтобы было совершено два выстрела, необходимо и достаточно, чтобы первый выстрел был промахом. Вероятность этого события равна $q$.
$P(X=2) = q = 0,3$.
Сумма вероятностей всех возможных значений $X$ должна быть равна 1. Проверим: $P(X=1) + P(X=2) = 0,7 + 0,3 = 1$.
Закон распределения случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы, где первой строке соответствуют значения $x_i$, а второй — их вероятности $p_i$:
$x_i$ | 1 | 2
$p_i$ | 0,7 | 0,3
Ответ: Закон распределения $X$ задается следующими вероятностями: $P(X=1)=0,7$, $P(X=2)=0,3$.

2) P(X < 2)
Событие $X < 2$ означает, что случайная величина $X$ принимает значение, строго меньшее 2. Среди возможных значений $X$ (1 и 2) этому условию удовлетворяет только значение $X=1$.
Следовательно, вероятность этого события равна вероятности события $X=1$.
$P(X < 2) = P(X=1) = 0,7$.
Ответ: $P(X < 2) = 0,7$.

3) M[X] и D[X]
Для нахождения математического ожидания $M[X]$ и дисперсии $D[X]$ воспользуемся стандартными формулами для дискретных случайных величин.
Математическое ожидание $M[X]$ вычисляется по формуле $M[X] = \sum x_i p_i$.
$M[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,3 = 0,7 + 0,6 = 1,3$.
Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = M[X^2] - (M[X])^2$.
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M[X^2]$ по формуле $M[X^2] = \sum x_i^2 p_i$.
$M[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0,7 + 4 \cdot 0,3 = 0,7 + 1,2 = 1,9$.
Теперь можем вычислить дисперсию:
$D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = 1,9 - (1,3)^2 = 1,9 - 1,69 = 0,21$.
Ответ: $M[X] = 1,3$; $D[X] = 0,21$.