Номер 8.44, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.44. Дискретная СВ $X$ равна числу мальчиков в семье с пятью детьми. Предполагается равновероятным рождение мальчика и девочки. Найдите:

а) закон распределения $X$;

б) $P(2 \leq X \leq 3)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

а) Пусть $X$ — дискретная случайная величина, равная числу мальчиков в семье с пятью детьми. Рождение мальчика и девочки — равновероятные события, поэтому вероятность рождения мальчика $p = 0.5$, а вероятность рождения девочки $q = 1 - p = 0.5$.

Поскольку проводится 5 независимых испытаний (рождение 5 детей), случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=5$ и $p=0.5$. Вероятность того, что в семье будет ровно $k$ мальчиков, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

Подставляя наши значения $n=5$, $p=q=0.5$, получаем:

$P(X=k) = C_5^k (0.5)^k (0.5)^{5-k} = C_5^k (0.5)^5 = \frac{C_5^k}{32}$

где $C_5^k = \frac{5!}{k!(5-k)!}$ — число сочетаний из 5 по $k$. Возможные значения для $X$: $0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычислим соответствующие вероятности для каждого значения $k$:

$P(X=0) = \frac{C_5^0}{32} = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = \frac{C_5^1}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = \frac{C_5^2}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{C_5^3}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = \frac{C_5^4}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = \frac{C_5^5}{32} = \frac{1}{32}$

Закон распределения (ряд распределения) случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы.

Ответ: Закон распределения $X$ задается следующей таблицей:

б) Найдем вероятность $P(2 \le X \le 3)$. Так как значения $X$ дискретны, эта вероятность равна сумме вероятностей $P(X=2)$ и $P(X=3)$.

$P(2 \le X \le 3) = P(X=2) + P(X=3)$

Используя значения из пункта а):

$P(X=2) = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{10}{32}$

Следовательно:

$P(2 \le X \le 3) = \frac{10}{32} + \frac{10}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$

Ответ: $P(2 \le X \le 3) = \frac{5}{8}$.

в) Найдем математическое ожидание (M[X]) и дисперсию (D[X]) случайной величины $X$.

Для биномиального распределения с параметрами $n$ и $p$ математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

$M[X] = np$

$D[X] = npq$

В нашей задаче $n=5$, $p=0.5$ и $q=1-p=0.5$.

Вычисляем математическое ожидание:

$M[X] = 5 \cdot 0.5 = 2.5$

Вычисляем дисперсию:

$D[X] = 5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 1.25$

Ответ: $M[X] = 2.5$; $D[X] = 1.25$.