Номер 8.45, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.45. Найдите производную функции:

1) $y = 1 - \frac{3}{2-x}$;

2) $y = x - \frac{4}{x^2}$;

3) $y = \arcsin(2x-3)$;

4) $y = \frac{\sin x}{1+\cos x}$.

1) Дана функция $y = 1 - \frac{3}{2-x}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности. Производная константы равна нулю.

$y' = (1 - \frac{3}{2-x})' = (1)' - (\frac{3}{2-x})' = 0 - (\frac{3}{2-x})'$.

Для нахождения производной дроби $\frac{3}{2-x}$ можно представить ее в виде $3(2-x)^{-1}$ и использовать правило дифференцирования степенной функции и цепное правило.

$(\frac{3}{2-x})' = (3(2-x)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(2-x)^{-1-1} \cdot (2-x)' = -3(2-x)^{-2} \cdot (-1) = 3(2-x)^{-2} = \frac{3}{(2-x)^2}$.

Подставляя обратно в выражение для $y'$, получаем:

$y' = - \frac{3}{(2-x)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{(2-x)^2}$.

2) Дана функция $y = x - \frac{4}{x^2}$.

Представим функцию в виде $y = x - 4x^{-2}$ и найдем производную, используя правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x - 4x^{-2})' = (x)' - (4x^{-2})'$.

$(x)' = 1$.

$(4x^{-2})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -8x^{-3} = -\frac{8}{x^3}$.

Следовательно, $y' = 1 - (-\frac{8}{x^3}) = 1 + \frac{8}{x^3}$.

Ответ: $y' = 1 + \frac{8}{x^3}$.

3) Дана функция $y = \arcsin(2x-3)$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $f(u) = \arcsin(u)$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Внутренняя функция $g(x) = 2x-3$, ее производная $g'(x) = 2$.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(2x-3)^2}} \cdot (2x-3)' = \frac{2}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}$.

Упростим выражение под корнем в знаменателе:

$1 - (2x-3)^2 = 1 - (4x^2 - 12x + 9) = 1 - 4x^2 + 12x - 9 = -4x^2 + 12x - 8$.

Вынесем множитель 4 из-под корня:

$\sqrt{-4x^2 + 12x - 8} = \sqrt{4(-x^2 + 3x - 2)} = 2\sqrt{-x^2 + 3x - 2}$.

Тогда производная равна:

$y' = \frac{2}{2\sqrt{-x^2 + 3x - 2}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 3x - 2}}$.

4) Дана функция $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sin x$ и $v = 1 + \cos x$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (1 + \cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(\cos x)(1 + \cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$y' = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2}$.

Сокращаем дробь на $(1 + \cos x)$ (это возможно, так как в области определения исходной функции $1 + \cos x \neq 0$):

$y' = \frac{1}{1 + \cos x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{1 + \cos x}$.