Номер 8.40, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.40. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите:

а) закон распределения СВ $X$, равный числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных;

б) $P(X > 0)$;

в) $M[X]$ и $D[X]$.

а) закон распределения СВ X, равный числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных;

Пусть СВ X — это число работ с оценкой «отлично» среди 3 случайно извлеченных. Всего в наличии $N=25$ контрольных работ, среди которых $K=5$ работ оценены на «отлично» и, соответственно, $N-K=20$ работ имеют другие оценки. Извлекается $n=3$ работы.

Поскольку выборка производится без возвращения из конечной совокупности, случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение. Возможные значения, которые может принимать X, это 0, 1, 2, 3.

Вероятность того, что среди $n$ извлеченных работ будет ровно $k$ работ с оценкой «отлично», вычисляется по формуле классической вероятности, которая для данного случая является формулой гипергеометрического распределения:

$P(X=k) = \frac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

Сначала найдем общее число способов извлечь 3 работы из 25:

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 2300$.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $k$ случайной величины X.

Для $k=0$ (не извлечено ни одной работы на «отлично»):

$P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_{20}^3}{C_{25}^3} = \frac{1 \cdot \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{2300} = \frac{1 \cdot 1140}{2300} = \frac{1140}{2300} = \frac{57}{115}$.

Для $k=1$ (извлечена одна работа на «отлично»):

$P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_{20}^2}{C_{25}^3} = \frac{5 \cdot \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1}}{2300} = \frac{5 \cdot 190}{2300} = \frac{950}{2300} = \frac{19}{46}$.

Для $k=2$ (извлечены две работы на «отлично»):

$P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_{20}^1}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 20}{2300} = \frac{10 \cdot 20}{2300} = \frac{200}{2300} = \frac{2}{23}$.

Для $k=3$ (извлечены три работы на «отлично»):

$P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_{20}^0}{C_{25}^3} = \frac{\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1}{2300} = \frac{10 \cdot 1}{2300} = \frac{10}{2300} = \frac{1}{230}$.

Проверка: $\frac{57}{115} + \frac{19}{46} + \frac{2}{23} + \frac{1}{230} = \frac{114}{230} + \frac{95}{230} + \frac{20}{230} + \frac{1}{230} = \frac{114+95+20+1}{230} = \frac{230}{230} = 1$.

Ответ: Закон распределения СВ X: $P(X=0) = \frac{57}{115}$; $P(X=1) = \frac{19}{46}$; $P(X=2) = \frac{2}{23}$; $P(X=3) = \frac{1}{230}$.

б) P(X > 0);

Вероятность $P(X > 0)$ означает, что будет извлечена хотя бы одна работа с оценкой «отлично». Это событие является противоположным событию $X = 0$ (не извлечено ни одной работы на «отлично»).

Следовательно, искомую вероятность проще всего найти через вероятность противоположного события:

$P(X > 0) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{57}{115} = \frac{115 - 57}{115} = \frac{58}{115}$.

Ответ: $P(X > 0) = \frac{58}{115}$.

в) M[X] и D[X].

Математическое ожидание $M[X]$ (среднее значение) и дисперсию $D[X]$ для гипергеометрического распределения можно найти по стандартным формулам, зная параметры $N=25$, $K=5$, $n=3$.

Формула для математического ожидания:

$M[X] = n \cdot \frac{K}{N}$

Подставляем наши значения:

$M[X] = 3 \cdot \frac{5}{25} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Формула для дисперсии:

$D[X] = n \cdot \frac{K}{N} \cdot (1 - \frac{K}{N}) \cdot \frac{N-n}{N-1}$

Подставляем значения:

$D[X] = 3 \cdot \frac{5}{25} \cdot (1 - \frac{5}{25}) \cdot \frac{25-3}{25-1} = \frac{3}{5} \cdot (1 - \frac{1}{5}) \cdot \frac{22}{24} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{22}{24} = \frac{12}{25} \cdot \frac{22}{24} = \frac{1}{25} \cdot \frac{22}{2} = \frac{11}{25} = 0.44$.

Ответ: $M[X] = 0.6$, $D[X] = 0.44$.